设 $f(t)$ 是 ${a,b}$ 上的连续单调递增函数, 证明
\[
\int_a^b tf(t)\mathrm{d}t\geqslant\frac{a+b}{2}\int_a^b f(t)\mathrm{d}t.
\]
Rem. 为便于搜索, 改写为下式. 在搜索页, 输入 xf(x) 即能搜到. (2021-11-28)
\[
\int_a^b xf(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.
\]
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记 $c=\frac{a+b}{2}$,
\[
\begin{split}
&\int_a^b(t-\frac{a+b}{2})f(t)dt\geqslant 0\\
\Leftrightarrow&\int_a^{c}(t-c)f(t)dt+\int_c^b(t-c)f(t)dt\geqslant 0
\end{split}
\]
令 $x=t-c$, 则等价于
\[
\int_{a-c}^{0}xf(x+c)dx+\int_{0}^{b-c}xf(x+c)dx\geqslant 0,
\]
若记 $d=b-c=c-a$, 则
\[
\int_{-d}^{0}xf(x+c)dx+\int_{0}^{d}xf(x+c)dx\geqslant 0,
\]
不妨视 $d$ 为变量, 令 $\varphi(d)=\int_{-d}^{0}xf(x+c)dx+\int_{0}^{d}xf(x+c)dx$, 从而
\[
\varphi'(d)=-(-d)f(-d+c)\cdot(-1)+df(d+c)=d\bigl[f(d+c)-f(-d+c)\bigr]\geqslant 0
\]
而 $\varphi(0)=0$, 故 $\varphi(d)\geqslant 0$.