问题及解答

试着列举满足 $\frac{\int_x^{\infty}f(t)dt}{f(x)}=1$ 的函数.

例如:

$f(x)=ae^{-(x-b)}$

事实上,

\[
\begin{split}
\int_x^{+\infty}f(t)dt&=\int_x^{+\infty}ae^{-(t-b)}dt\\
&=ae^b\int_x^{+\infty}e^{-t}dt\\
&=ae^b\cdot(-e^{-t})\biggr|_{x}^{+\infty}=ae^b\cdot\Bigl[-e^{-\infty}+e^{-x}\Bigr]\\
&=ae^{b-x}=ae^{-(x-b)}
\end{split}
\]

这个问题实质上是求解常微分方程 $f'(x)+f(x)=0$.