问题及解答

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $g(x)$ 与 $f(x)$ 只在有限个点处不同, 则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上也可积, 且

\[
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^b g(x)\mathrm{d}x .
\]

Pf. 设 $g$ 和 $f$ 仅在集合 $\mathcal{A}=\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_m\}$ 上取值不同. 令 $h(x)=g(x)-f(x)$, 则 $h$ 除了 $\mathcal{A}$ 中的点, 取值都为 0.  由于这些点的个数是有限的, 又 $f$ 有界（因为$f$ 可积）,  故 $h$ 也是有界的. 记 $M=\max_{1\leqslant j\leqslant m}|h(\xi_j)|$.

任取 $\varepsilon>0$, 由于$\mathcal{A}$ 中的点的个数是有限的, 故可取 $0< \delta\leqslant\dfrac{\varepsilon}{mM}$, 使得各 $B(\xi_j,\frac{\delta}{2})$ 彼此互不相交. 取 $[a,b]$ 的划分 $\pi:\ a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n=b$, 使得各个 $B(\xi_j,\frac{\delta}{2})$ 包含在不同的小区间 $[x_{k_j-1},x_{k_j}]$ 中, 且满足划分的模长 $\|\pi\|=\delta$. 于是

\[
\sum_{i=1}^{n}\omega_i(h)\Delta x_i\leqslant\sum_{j=1}^{m}|h(\xi_j)|\cdot\delta\leqslant mM\delta\leqslant\varepsilon,
\]

因此, $h$ 在 $[a,b]$ 上可积. 从而 $g=f+h$ 在 $[a,b]$ 上也可积.