问题及解答

设 $f(x)$ 为连续函数, 且 $f(x)=x+\displaystyle\int_0^2 f(x)\mathrm{d}x$, 求 $f(x)$.

记 $a=\displaystyle\int_0^2 f(x)\mathrm{d}x$, 则 $f(x)=x+a$. 于是

\[
a=\int_0^2 (x+a)\mathrm{d}x,
\]

这推出

\[
a=(\frac{1}{2}x^2+ax)\biggr|_0^2=\frac{1}{2}\cdot 2^2+2a\quad\Rightarrow\quad a=-2.
\]

因此, $f(x)=x-2$.