设 $F(x)=\begin{cases}\frac{\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{x}, & x\neq 0,\\ 0, & x=0.\end{cases}$ 其中 $f\in C(\mathbb{R})$, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$.
证明: $F'(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
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Pf. 当 $x\neq 0$ 时,
\[
F'(x)=\biggl(\frac{\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{x}\biggr)'_x=\frac{f(x)\cdot x-\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{x^2}.
\]
当 $x=0$ 时,
\[
\begin{split}
F'(0)&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{x}-0}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}=\frac{1}{2}.
\end{split}
\]
这里最后一个等号用到了条件 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}=1$.
而
\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 0}F'(x)&=\lim_{x\rightarrow 0}\biggl[\frac{f(x)}{x}-\frac{\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{x^2}\biggr]\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{x^2}\\
&=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
\end{split}
\]
故 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}F'(x)=F'(0)$, 即 $F'(x)$ 在 $x=0$ 处连续.