Questions in category: 初等数论 (Elementary Number Theory)
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1. 设 $a$ 和 $b$ 为正整数, 且 $ab+1$ 整除 $a^2+b^2$, 求证 $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ 是某个正整数的平方.

Posted by haifeng on 2017-11-30 14:28:11 last update 2017-11-30 14:28:11 | Answers (1) | 收藏


设 $a$ 和 $b$ 为正整数, 且 $ab+1$ 整除 $a^2+b^2$, 求证 $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ 是某个正整数的平方.
 

 

Remark: 这是第29届IMO的第六题, 德国人出的题.

 

References:

http://mp.weixin.qq.com/s/qdfizm-Mt_veuB0dbsGrbQ
 

 

2. 求解同余方程组

Posted by haifeng on 2017-11-08 23:18:43 last update 2017-11-08 23:18:43 | Answers (1) | 收藏


求解同余方程组

\[
\begin{cases}
x\equiv 3\pmod 5,\quad(1)\\
x\equiv 1\pmod {21}.\quad(2)
\end{cases}
\]

3. 在坐标平面上把2个坐标都是整数的点称为整点,对于任意给定的5个整点,证明其中一定有2个整点,使得其连线的中点仍为整点。

Posted by haifeng on 2017-05-30 12:41:14 last update 2017-05-30 12:41:14 | Answers (1) | 收藏


在坐标平面上把2个坐标都是整数的点称为整点,对于任意给定的5个整点,证明其中一定有2个整点,使得其连线的中点仍为整点。

4. 函数 $f:\ \mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ 满足下列条件: (1) $f(n) < f(n+1)$, (2) $f(f(n))=3n$.求 $f(n)$.

Posted by haifeng on 2017-05-06 21:58:25 last update 2017-05-06 22:17:54 | Answers (1) | 收藏


函数 $f:\ \mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ 满足下列条件:

(1) $f(n) < f(n+1)$,

(2) $f(f(n))=3n$.

求 $f(n)$.

 


Remark:

题目来源: 周久儒

5. 分圆多项式(Cyclotomic Polynomials)

Posted by haifeng on 2017-01-19 10:33:18 last update 2017-01-19 10:33:18 | Answers (0) | 收藏


分圆多项式(Cyclotomic Polynomials)

6. Fermat number 的性质

Posted by haifeng on 2016-12-27 19:43:20 last update 2016-12-27 21:27:13 | Answers (1) | 收藏


Fermat number 指形如 $2^{2^n}+1$ 的正整数. 它有如下性质:

 

(1) $F_n=(F_{n-1}-1)^2+1$

(2) $F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_0\cdots F_{n-2}$

(3) $F_n=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^2$

(4) $F_n=F_0\cdots F_{n-1}+2$

 

由 (4) 可推出 Goldbach 定理: 任意两个不同的 Fermat 数没有共同的因子.

也就是说 Fermat 数之间是互素的.

 

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Generalized_Fermat_primes

 

7. 求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\Bigl[\frac{2i+j}{n}\Bigr]$.

Posted by haifeng on 2016-11-29 09:28:53 last update 2016-11-29 09:30:59 | Answers (1) | 收藏


\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\biggl[\frac{2i+j}{n}\biggr].\]

 

这里 $\bigl[x\bigr]$ 表示对数 $x$ 进行取整.

8. Erdős–Straus conjecture

Posted by haifeng on 2016-10-24 09:16:24 last update 2016-10-24 09:16:24 | Answers (0) | 收藏


Erdős–Straus conjecture

对任意正整数 $n\geqslant 2$, 是否存在正整数 $x,y,z$, 使得方程

\[
\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
\]

成立?
 



例如:

\[
\frac{4}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1},
\]

\[
\frac{4}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},
\]

\[
\frac{4}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2},
\]

\[
\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}.
\]

9. Dirichlet 逼近定理

Posted by haifeng on 2016-09-29 17:32:33 last update 2016-09-29 17:32:33 | Answers (1) | 收藏


设 $\alpha\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{Z}^+$. 则存在正整数 $a,b$, $1\leqslant a\leqslant n$, 使得

\[
|a\alpha-b| < \frac{1}{n}.
\]

10. [Def]Multiplicative order

Posted by haifeng on 2016-09-21 14:43:35 last update 2016-09-21 14:43:35 | Answers (0) | 收藏


给定正整数 $b$ 和 $n$, 满足下式

\[
b^e\equiv 1\pmod n
\]

的最小的正整数 $e$ 被称为 $b$ 模 $n$ 的 multiplicative order.  (或者称为 haupt-exponent or modulo order)

 

 


References:

http://mathworld.wolfram.com/MultiplicativeOrder.html

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