Questions in category: 初等数论 (Elementary Number Theory)
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1. 设 $g|ab$, $g|cd$ 及 $g|(ac+bd)$, 证明: $g|ac$ 且 $g|bd$.

Posted by haifeng on 2020-01-06 08:37:06 last update 2020-01-06 08:37:06 | Answers (2) | 收藏


设 $g|ab$, $g|cd$ 及 $g|(ac+bd)$, 证明: $g|ac$ 且 $g|bd$.

 

2. 证明: $x^2+2y^2=203$ 无整数解.

Posted by haifeng on 2020-01-02 17:00:58 last update 2020-01-02 17:00:58 | Answers (1) | 收藏


证明: $x^2+2y^2=203$ 无整数解.

 

 

References:

潘承洞, 潘承彪, 《数论》   P. 

3. 设 $N$ 不是平方数, 证明 $\sqrt{N}$ 是无理数.

Posted by haifeng on 2019-11-24 11:37:01 last update 2019-11-24 11:37:01 | Answers (0) | 收藏


设 $N$ 不是平方数, 证明 $\sqrt{N}$ 是无理数.

事实上, 只要 $N$ 不是某个整数 $n$ 的 $m$ 次幂, 则 $\sqrtn[m]{N}$ 都是无理数.

 

现在, 若 $\sqrt{N}$ 是无理数, 问是否有无理性的几何证明?

 

哈代数论中给出了 $\sqrt{5}$ 无理性的几何证明.

4. 用初等方法证明以下恒等式

Posted by haifeng on 2019-11-24 07:19:02 last update 2019-11-24 07:19:02 | Answers (0) | 收藏


\[
\begin{split}
&(1+2x+2x^4+\cdots)^6\\
=&1+16\biggl(\frac{1^2 x}{1+x^2}+\frac{2^2 x^2}{1+x^4}+\frac{3^2 x^3}{1+x^6}+\cdots\biggr)-4\biggl(\frac{1^2 x}{1-x}-\frac{3^2 x^3}{1-x^3}+\frac{5^2 x^5}{1-x^5}-\cdots\biggr)
\end{split}
\]

 

\[
(1+2x+2x^4+\cdots)^8=1+16\biggl(\frac{1^3 x}{1+x}+\frac{2^3 x^2}{1-x^2}+\frac{3^3 x^3}{1+x^3}+\cdots\biggr)
\]

 

References:

哈代数论(第6版)20.13 用多个平方和表示数

G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.
 

5. 证明: $30|(6n^5+15n^4+10n^3-n)$.

Posted by haifeng on 2019-11-04 22:01:29 last update 2019-11-04 22:01:29 | Answers (1) | 收藏


证明: $30|(6n^5+15n^4+10n^3-n)$.

6. 证明: $9|(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3)$.

Posted by haifeng on 2019-11-04 21:28:05 last update 2019-11-04 21:28:05 | Answers (1) | 收藏


证明: $9|(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3)$.

7. 3可以写成三个整数的立方和

Posted by haifeng on 2019-09-23 21:12:43 last update 2019-09-23 21:12:43 | Answers (0) | 收藏


569936821221962380720^3 + (-569936821113563493509)^3 + (-472715493453327032)^3 == 3

 

References:

数论群

http://bristol.ac.uk/maths/news/2019/number-3.html

8. 目前已知的梅森素数(Mersenne primes)

Posted by haifeng on 2019-09-21 09:47:10 last update 2019-09-21 15:05:06 | Answers (0) | 收藏


形如 $2^n-1$ 的数, 如果是素数, 则称为梅森素数(Mersenne prime).

由于当 $n$ 是合数时, 比如 $n=pq$, 则 $2^{pq}-1$ 总可以分解. 具体的, 若 $q=2k$, 则有 $2^{2pk}-1=(2^{pk}-1)(2^{pk}+1)$. 若 $q=2k+1$, 则含有因子 $2^p-1$. 因此 $2^n-1$ 称为素数的必要条件是 $n$ 是素数.

一般记梅森素数为 $M_p=2^p-1$, 其中 $p$ 为素数. 目前已知的梅森素数有

No. $p$ $M_p$ isPrime
1 2 $2^2-1=3$ Y
2 3 $2^3-1=7$ Y
3 5 $2^5-1=31$ Y
4 7 $2^7-1=127$ Y
  11 $2^{11}-1=2047$ N
5 13 $2^{13}-1=8191$ Y
6 17 $2^{17}-1=131071$ Y
7 19 $2^{19}-1=524287$ Y
  23 $2^{23}-1=8388607$ N
  29 $2^{29}-1=536870911$ N
8 31 $2^{31}-1=2147483647$ Y

 

以下仅列出梅森素数

No. $p$ $M_p$ Value
9 61 $2^{61}-1$ 2305843009213693951
10 89 $2^{89}-1$ 618970019642690137449562111
11 107 $2^{107}-1$ 162259276829213363391578010288127
12 127 $2^{127}-1$ 170141183460469231731687303715884105727
13 521 $2^{521}-1$  
14 607 $2^{607}-1$  
15 1279 $2^{1279}-1$  
16 2203 $2^{2203}-1$  
17 2281 $2^{2281}-1$  
18 3217 $2^{3217}-1$  
19 4253 $2^{4253}-1$  
20 4423 $2^{4423}-1$  

 

使用 Calculator.exe 验证: isprime(2^3217-1)

>> isprime(2^3217-1)
in> isprime(2^3217-1)
in> 2^3217-1

out> 259117086013202627776246767922441530941818887553125427303974923161874019266586362086201209516800483406550695241733194177441689509238807017410377709597512042313066624082916353517952311186154862265604547691127595848775610568757931191017711408826252153849035830401185072116424747461823031471398340229288074545677907941037288235820705892351068433882986888616658650280927692080339605869308790500409503709875902119018371991620994002568935113136548829739112656797303241986517250116412703509705427773477972349821676443446668383119322540099648994051790241624056519054483690809616061625743042361721863339415852426431208737266591962061753535748892894599629195183082621860853400937932839420261866586142503251450773096274235376822938649407127700846077124211823080804139298087057504713825264571448379371125032081826126566649084251699453951887789613650248405739378594599444335231188280123660406262468609212150349937584782292237144339628858485938215738821232393687046160677362909315071
2^3217-1 is a Mersenne number, we use Lucas-Lehmer test.
2^3217-1 is a Mersenne prime.

------------------------

用时大约3分钟

 

References:

https://www.mersenne.org/primes/

 

9. 证明 $8\overbrace{33\cdots3}^{2n}=1\overbrace{66\cdots 67}^{n}\times 4\overbrace{99\cdots 9}^{n}$.

Posted by haifeng on 2019-09-11 08:32:22 last update 2019-09-11 09:42:23 | Answers (0) | 收藏


我们都知道 $\frac{5}{6}=0.833333\cdots$, $\frac{5}{3}=1.666666\cdots$

\[
\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{5}{3}\Rightarrow\ 0.833333\cdots=1.666666\cdots\times 0.5
\]

现在如果两边都取小数点后有限位(比如 $n$ 位), 固然有 $0.833\cdots 3=1.66\cdots 6\times 0.5$,  但有没有这样一种情况, 当 $1.66\cdots 66$ 增加 $0.00\cdots 01$, 而 $0.5$ 减少 $0.00\cdots 01$. (这里小数点后是 $n$ 位), 仍有等式

\[
0.833\cdots 33=1.66\cdots 67\times 0.499\cdots 9
\]

事实上, 我们可以证明:

\[
8\overbrace{33\cdots3}^{2n}=1\overbrace{66\cdots 67}^{n}\times 4\overbrace{99\cdots 9}^{n}
\]

 

 

[Hint] 使用归纳法即可证明.

10. 关于阶乘

Posted by haifeng on 2019-07-28 23:12:54 last update 2019-07-28 23:34:22 | Answers (0) | 收藏


$4!+1==25==5^2$

$5!+1==121==11^2$

$7!+1==5041==71^2$

对于 $n!+1=m^2$, 除了上面的 $n=4,5,7$ 之外, 还有解吗?

$11!+1==39916801$ is a prime

 

 

References:

Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, D25 Equations involving factorial $n$.

 

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