Questions in category: 初等数论 (Elementary Number Theory)
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1. 设 $p$ 是奇素数, 证明 $0^2,\ 1^2,\ ,\ldots,\ (\frac{p-1}{2})^2$ 模 $p$ 两两互不同余.

Posted by haifeng on 2019-01-17 08:36:55 last update 2019-01-17 08:36:55 | Answers (0) | 收藏


设 $p$ 是奇素数, 证明 $0^2,\ 1^2,\ ,\ldots,\ (\frac{p-1}{2})^2$ 模 $p$ 两两互不同余.

 

References:

https://arxiv.org/abs/1901.04837

 

2. 一些已经验证的素数

Posted by haifeng on 2019-01-06 17:08:47 last update 2019-01-06 22:08:11 | Answers (0) | 收藏


 

 

prime length
36893488147419103 17
180143985094819 15
492111536145001 15
7524389324549 13
1504877864909 13
6019511459639 13
5629499534213 13
1203902291927 13

 

 

怀疑是素数的

12039022919278967120019673

6019511459639483560009

 

 

3. 如何快速计算 $2^{2019}$?

Posted by haifeng on 2019-01-06 15:11:47 last update 2019-01-06 15:39:50 | Answers (0) | 收藏


如何快速计算 $2^{2019}$?

Hint:

令 $m1=2\times 2$, 则

\[
\begin{aligned}
m2:=2^4=m1\times m1\\
m3:=2^8=2^4\times 2^4=m2\times m2\\
m4:=2^{16}=2^8\times 2^8=m3\times m3\\
m5:=2^{32}=2^{16}\times 2^{16}=m4\times m4\\
\end{aligned}
\]

 

4. $n^2-n+11=p_1p_2p_3p_4$

Posted by haifeng on 2018-11-07 13:08:31 last update 2018-11-07 13:25:27 | Answers (0) | 收藏


设正整数 $n$ 满足下面的方程,

\[n^2-n+11=p_1p_2p_3p_4,\]

其中 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 是四个大于 2 的素数, 且各不相同. 问此方程是否有解, 如有, 最小的解 $n$ 是多少?

 

 


Remark:

题目来源于 David Chen.

5. 设 $a$ 和 $b$ 为正整数, 且 $ab+1$ 整除 $a^2+b^2$, 求证 $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ 是某个正整数的平方.

Posted by haifeng on 2017-11-30 14:28:11 last update 2017-11-30 14:28:11 | Answers (1) | 收藏


设 $a$ 和 $b$ 为正整数, 且 $ab+1$ 整除 $a^2+b^2$, 求证 $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ 是某个正整数的平方.
 

 

Remark: 这是第29届IMO的第六题, 德国人出的题.

 

References:

http://mp.weixin.qq.com/s/qdfizm-Mt_veuB0dbsGrbQ
 

 

6. 求解同余方程组

Posted by haifeng on 2017-11-08 23:18:43 last update 2017-11-08 23:18:43 | Answers (1) | 收藏


求解同余方程组

\[
\begin{cases}
x\equiv 3\pmod 5,\quad(1)\\
x\equiv 1\pmod {21}.\quad(2)
\end{cases}
\]

7. 在坐标平面上把2个坐标都是整数的点称为整点,对于任意给定的5个整点,证明其中一定有2个整点,使得其连线的中点仍为整点。

Posted by haifeng on 2017-05-30 12:41:14 last update 2017-05-30 12:41:14 | Answers (1) | 收藏


在坐标平面上把2个坐标都是整数的点称为整点,对于任意给定的5个整点,证明其中一定有2个整点,使得其连线的中点仍为整点。

8. 函数 $f:\ \mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ 满足下列条件: (1) $f(n) < f(n+1)$, (2) $f(f(n))=3n$.求 $f(n)$.

Posted by haifeng on 2017-05-06 21:58:25 last update 2017-05-06 22:17:54 | Answers (1) | 收藏


函数 $f:\ \mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ 满足下列条件:

(1) $f(n) < f(n+1)$,

(2) $f(f(n))=3n$.

求 $f(n)$.

 


Remark:

题目来源: 周久儒

9. 分圆多项式(Cyclotomic Polynomials)

Posted by haifeng on 2017-01-19 10:33:18 last update 2017-01-19 10:33:18 | Answers (0) | 收藏


分圆多项式(Cyclotomic Polynomials)

10. Fermat number 的性质

Posted by haifeng on 2016-12-27 19:43:20 last update 2016-12-27 21:27:13 | Answers (1) | 收藏


Fermat number 指形如 $2^{2^n}+1$ 的正整数. 它有如下性质:

 

(1) $F_n=(F_{n-1}-1)^2+1$

(2) $F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_0\cdots F_{n-2}$

(3) $F_n=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^2$

(4) $F_n=F_0\cdots F_{n-1}+2$

 

由 (4) 可推出 Goldbach 定理: 任意两个不同的 Fermat 数没有共同的因子.

也就是说 Fermat 数之间是互素的.

 

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Generalized_Fermat_primes

 

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