Questions in category: 一般数论 (General Number Theory)
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1. 验证下面的无穷乘积的敛散性

Posted by haifeng on 2018-10-21 16:32:38 last update 2018-10-21 16:32:38 | Answers (0) | 收藏


当 $|x| < 1$ 且 $z\neq 0$ 时, 无穷乘积

\[
\prod_{n=1}^{\infty}(1+|x|^{2n}),\quad\prod_{n=1}^{\infty}(1+|x^{2n-1}z|),\quad\prod_{n=1}^{\infty}(1+|x^{2n-1}z^{-1}|)
\]

都收敛.

 

 


References:

G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 《哈代数论》

Chapter 19 section 8,  P.284
 

2. 当 $m\equiv 1\pmod 4$ 时, $\tau:=\frac{1}{2}(\sqrt{m}-1)$ 是 $k(\sqrt{m})$ 中的一个整数.

Posted by haifeng on 2018-10-13 16:39:36 last update 2018-10-13 16:39:36 | Answers (1) | 收藏


当 $m\equiv 1\pmod 4$ 时, $\tau:=\frac{1}{2}(\sqrt{m}-1)$ 是 $k(\sqrt{m})$ 中的一个整数.

 

Remark:

$k(\sqrt{m})$ 中的整数是指属于 $k(\sqrt{m})$ 的那些代数整数.

 


References:

G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.  《哈代数论》, P. 210.   Section 14.3 一般的二次域 $k(\sqrt{m})$.

3. 设 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ 这七个实数满足

Posted by haifeng on 2015-02-12 22:17:57 last update 2015-02-12 23:51:47 | Answers (1) | 收藏


设 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ 这七个非负实数满足

\[
\sum_{i=1}^{7}a_i=1.
\]

令 $t_i=\sum_{k=i}^{i+2}a_k$, $i=1,2,3,4,5$. 求

\[
A=\min_{\sum a_i=1}\{\max_{1\leqslant i\leqslant 5}t_i\}
\]


[分析]

比如, 令这七个数分别为 $\frac{1}{6}-\delta$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{5}{36}$,$\frac{5}{36}$,$\frac{5}{36}+\delta$, 这里 $\delta > 0$.

从而可知 $A < \frac{1}{2}$. 或者都取 $\frac{1}{7}$, 则推出 $A\leqslant\frac{3}{7}$

若令这七个数分别为

\[
\frac{1}{3}-\frac{\delta}{2},\quad\frac{\delta}{4}-\varepsilon,\quad\frac{\delta}{4}+\frac{\varepsilon}{2},\quad x,\quad\frac{\delta}{4}+\frac{\varepsilon}{2},\quad\frac{\delta}{4}-\varepsilon,\quad\frac{1}{3}-\frac{\delta}{2},
\]

则得 $x=\frac{1}{3}+\varepsilon$.


[Hint] 利用鸽巢原理, 可证明 $A=\frac{1}{3}$.

 


 

Remark: 若条件中没有非负这个条件, 则 $A$ 可以小于 $\frac{1}{3}$.

例如:

\[
\begin{cases}
a_1=a_7=\frac{1}{3}+\frac{\varepsilon}{2}+\eta,\\
a_2=a_6=\frac{\delta}{4}-\frac{\varepsilon}{2}-\eta,\\
a_3=a_5=-(\frac{\delta}{4}+\frac{\varepsilon}{2}),\\
a_4=\frac{1}{3}+\varepsilon.
\end{cases}
\]

这里 $\varepsilon,\delta,\eta$ 都大于零.

4. [open]Beal 猜想

Posted by haifeng on 2013-06-23 10:27:20 last update 2013-06-23 10:28:24 | Answers (0) | 收藏


Beal 猜想也称 Tijdeman-Zagier 猜想, 指的是方程

\[
x^m+y^n=z^r
\]

没有正整数解. 这里 $m,n,r > 2$, 并且 $x,y,z$ 彼此互素 (即 $\text{gcd}(x,y)=\text{gcd}(y,z)=\text{gcd}(z,x)=1$).


References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Beal\'s_conjecture

http://www.bealconjecture.com/

http://norvig.com/beal.html

5. Wallis 不等式

Posted by haifeng on 2012-06-10 11:10:38 last update 2012-06-10 11:26:22 | Answers (0) | 收藏


\[P_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\]

(1) 对任意 $n>1$, 有

\[\frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{\pi(n+\frac{4}{\pi}-1)}}<P_n<\frac{1}{\sqrt{\pi(n+\frac{1}{4})}}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<\frac{1}{\sqrt{2n}}\]

例如:

\[\frac{1}{15}<\frac{99!!}{100!!}<\frac{1}{10}\]


(2)

\[\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\frac{2}{\pi}<P_n<\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\frac{2}{\pi}\]


References

匡继昌, 常用不等式