当 $m\equiv 1\pmod 4$ 时, $\tau:=\frac{1}{2}(\sqrt{m}-1)$ 是 $k(\sqrt{m})$ 中的一个整数.
Remark:
$k(\sqrt{m})$ 中的整数是指属于 $k(\sqrt{m})$ 的那些代数整数.
References:
G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. 《哈代数论》, P. 210. Section 14.3 一般的二次域 $k(\sqrt{m})$.
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不妨令 $\tau$ 满足方程 $\tau^2+x\tau+y=0$. 这里的整系数 $x,y$ 待定. 将 $\tau=\frac{1}{2}(\sqrt{m}-1)$ 代入方程,
\[
\begin{split}
& \Bigl[\frac{1}{2}(\sqrt{m}-1)\Bigr]^2+x\cdot\frac{1}{2}(\sqrt{m}-1)+y=0\\
\Rightarrow & \frac{1}{4}(m+1-2\sqrt{m})+\frac{x}{2}\sqrt{m}-\frac{x}{2}+y=0\\
\Rightarrow & (\frac{x}{2}-\frac{1}{2})\sqrt{m}+\frac{m+1}{4}-\frac{x}{2}+y=0,
\end{split}
\]
令 $x=1$, 则推出
\[
y=\frac{1}{2}-\frac{m+1}{4}=\frac{1-m}{4},
\]
因此, 当 $m\equiv 1\pmod 4$ 时, $y$ 是整数.
因此, $\tau=\frac{1}{2}(\sqrt{m}-1)$ 是 $k(\sqrt{m})$ 中的一个整数.