问题及解答

定理. (Lagrange 定理) 每个正整数都是四个平方数之和.

这个定理可以用纯数论的办法证明, 也可以利用几何中的 Minkowski 定理证明. 

两种证法都需要证明每个素数是四个平方数的和, 然后利用 Euler 的恒等式

\[
\begin{split}
&(a^2+b^2+c^2+d^2)(A^2+B^2+C^2+D^2)\\
=&(aA-bB-cC-dD)^2+(aB+bA+cD-dC)^2\\
&+(aC-bD+cA+dB)^2+(aD+bC-cB+dA)^2
\end{split}
\]

或写为

\[
\begin{split}
&(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)\\
=&(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2+(x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3)^2\\
&+(x_1y_3-x_3y_1+x_4y_2-x_2y_4)^2+(x_1y_4-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2)^2
\end{split}
\]

Euler 恒等式的证明.

\[
\begin{split}
&(aA-bB-cC-dD)^2\\
=&a^2 A^2+b^2 B^2+c^2 C^2+d^2 D^2\\
&-2abAB-2acAC-2adAD\\
&+2bcBC+2bdBD+2cdCD
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
&(aB+bA+cD-dC)^2\\
=&a^2 B^2+b^2 A^2+c^2 D^2+d^2 C^2\\
&+2abAB+2acBD-2adBC\\
&+2bcAD-2bdAC-2cdCD
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
&(aC-bD+cA+dB)^2\\
=&a^2 C^2+b^2 D^2+c^2 A^2+d^2 B^2\\
&-2abCD+2acAC+2adBC\\
&-2bcAD-2bdBD+2cdAB
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
&(aD+bC-cB+dA)^2\\
=&a^2 D^2+b^2 C^2+c^2 B^2+d^2 A^2\\
&+2abCD-2acBD+2adAD\\
&-2bcBC+2bdAC-2cdAB
\end{split}
\]

将这四个式子相加, 并注意一些交叉项的抵消, 如下所示.

可得

\[
\begin{split}
=&a^2 A^2+b^2 B^2+c^2 C^2+d^2 D^2\\
&+a^2 B^2+b^2 A^2+c^2 D^2+d^2 C^2\\
&+a^2 C^2+b^2 D^2+c^2 A^2+d^2 B^2\\
&+a^2 D^2+b^2 C^2+c^2 B^2+d^2 A^2\\
=&(a^2+b^2+c^2+d^2)(A^2+B^2+C^2+D^2)
\end{split}
\]