证明: $x^2+2y^2=203$ 无整数解.

References:

潘承洞, 潘承彪, 《数论》   P. 

设 $N$ 不是平方数, 证明 $\sqrt{N}$ 是无理数.

事实上, 只要 $N$ 不是某个整数 $n$ 的 $m$ 次幂, 则 $\sqrt[m]{N}$ 都是无理数.

现在, 若 $\sqrt{N}$ 是无理数, 问是否有无理性的几何证明?

哈代数论中给出了 $\sqrt{5}$ 无理性的几何证明.

\[
\begin{split}
&(1+2x+2x^4+\cdots)^6\\
=&1+16\biggl(\frac{1^2 x}{1+x^2}+\frac{2^2 x^2}{1+x^4}+\frac{3^2 x^3}{1+x^6}+\cdots\biggr)-4\biggl(\frac{1^2 x}{1-x}-\frac{3^2 x^3}{1-x^3}+\frac{5^2 x^5}{1-x^5}-\cdots\biggr)
\end{split}
\]

\[
(1+2x+2x^4+\cdots)^8=1+16\biggl(\frac{1^3 x}{1+x}+\frac{2^3 x^2}{1-x^2}+\frac{3^3 x^3}{1+x^3}+\cdots\biggr)
\]

References:

哈代数论（第6版）20.13 用多个平方和表示数

G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.
 

证明: $30|(6n^5+15n^4+10n^3-n)$.

证明: $9|(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3)$.

569936821221962380720^3 + (-569936821113563493509)^3 + (-472715493453327032)^3 == 3

References:

数论群

http://bristol.ac.uk/maths/news/2019/number-3.html

形如 $2^n-1$ 的数, 如果是素数, 则称为梅森素数(Mersenne prime).

由于当 $n$ 是合数时, 比如 $n=pq$, 则 $2^{pq}-1$ 总可以分解. 具体的, 若 $q=2k$, 则有 $2^{2pk}-1=(2^{pk}-1)(2^{pk}+1)$. 若 $q=2k+1$, 则含有因子 $2^p-1$. 因此 $2^n-1$ 称为素数的必要条件是 $n$ 是素数.

一般记梅森素数为 $M_p=2^p-1$, 其中 $p$ 为素数. 目前已知的梅森素数有

以下仅列出梅森素数

使用 Calculator.exe 验证: isprime(2^3217-1)

>> isprime(2^3217-1)
in> isprime(2^3217-1)
in> 2^3217-1

out> 259117086013202627776246767922441530941818887553125427303974923161874019266586362086201209516800483406550695241733194177441689509238807017410377709597512042313066624082916353517952311186154862265604547691127595848775610568757931191017711408826252153849035830401185072116424747461823031471398340229288074545677907941037288235820705892351068433882986888616658650280927692080339605869308790500409503709875902119018371991620994002568935113136548829739112656797303241986517250116412703509705427773477972349821676443446668383119322540099648994051790241624056519054483690809616061625743042361721863339415852426431208737266591962061753535748892894599629195183082621860853400937932839420261866586142503251450773096274235376822938649407127700846077124211823080804139298087057504713825264571448379371125032081826126566649084251699453951887789613650248405739378594599444335231188280123660406262468609212150349937584782292237144339628858485938215738821232393687046160677362909315071
2^3217-1 is a Mersenne number, we use Lucas-Lehmer test.
2^3217-1 is a Mersenne prime.

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用时大约3分钟

References:

https://www.mersenne.org/primes/

我们都知道 $\frac{5}{6}=0.833333\cdots$, $\frac{5}{3}=1.666666\cdots$

\[
\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{5}{3}\Rightarrow\ 0.833333\cdots=1.666666\cdots\times 0.5
\]

现在如果两边都取小数点后有限位(比如 $n$ 位), 固然有 $0.833\cdots 3=1.66\cdots 6\times 0.5$,  但有没有这样一种情况, 当 $1.66\cdots 66$ 增加 $0.00\cdots 01$, 而 $0.5$ 减少 $0.00\cdots 01$. (这里小数点后是 $n$ 位), 仍有等式

\[
0.833\cdots 33=1.66\cdots 67\times 0.499\cdots 9
\]

事实上, 我们可以证明:

\[
8\overbrace{33\cdots3}^{2n}=1\overbrace{66\cdots 67}^{n}\times 4\overbrace{99\cdots 9}^{n}
\]

[Hint] 使用归纳法即可证明.

$4!+1==25==5^2$

$5!+1==121==11^2$

$7!+1==5041==71^2$

对于 $n!+1=m^2$, 除了上面的 $n=4,5,7$ 之外, 还有解吗?

$11!+1==39916801$ is a prime

$27!+1==10888869450418352160768000001$ 很有可能是素数.

$29\mid 28!+1$

$31\mid 30!+1$

令 

\[
B=\{n\in\mathbb{N}\mid n | (n-1)!+1\}
\]

则 $B$ 中的元素是哪些?

References:

Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, D25 Equations involving factorial $n$.

求方程 $x^{341-1}\equiv 1\pmod{341}$ 的解, 这里 $x$ 为正整数.

我们这里使用 Calculator 进行计算

>> solve(x^340mod341==1,x,1,340)
in> solve(x^340@341~1,x,1,340)
ans>> x=1
ans>> x=2
ans>> x=4
ans>> x=8
ans>> x=15
ans>> x=16
ans>> x=23
ans>> x=27
ans>> x=29
ans>> x=30
ans>> x=32
ans>> x=35
ans>> x=39
ans>> x=46
ans>> x=47
ans>> x=54
ans>> x=58
ans>> x=60
ans>> x=61
ans>> x=63
ans>> x=64
ans>> x=70
ans>> x=78
ans>> x=85
ans>> x=89
ans>> x=91
ans>> x=92
ans>> x=94
ans>> x=95
ans>> x=97
ans>> x=101
ans>> x=108
ans>> x=109
ans>> x=116
ans>> x=120
ans>> x=122
ans>> x=123
ans>> x=125
ans>> x=126
ans>> x=128
ans>> x=139
ans>> x=140
ans>> x=147
ans>> x=151
ans>> x=153
ans>> x=156
ans>> x=157
ans>> x=159
ans>> x=163
ans>> x=170
ans>> x=171
ans>> x=178
ans>> x=182
ans>> x=184
ans>> x=185
ans>> x=188
ans>> x=190
ans>> x=194
ans>> x=201
ans>> x=202
ans>> x=213
ans>> x=215
ans>> x=216
ans>> x=218
ans>> x=219
ans>> x=221
ans>> x=225
ans>> x=232
ans>> x=233
ans>> x=240
ans>> x=244
ans>> x=246
ans>> x=247
ans>> x=249
ans>> x=250
ans>> x=252
ans>> x=256
ans>> x=263
ans>> x=271
ans>> x=277
ans>> x=278
ans>> x=280
ans>> x=281
ans>> x=283
ans>> x=287
ans>> x=294
ans>> x=295
ans>> x=302
ans>> x=306
ans>> x=309
ans>> x=311
ans>> x=312
ans>> x=314
ans>> x=318
ans>> x=325
ans>> x=326
ans>> x=333
ans>> x=337
ans>> x=339

------------------------

可以进行验算, 比如

>> 339^340mod 341
in> 339^340@341

out> 1

------------------------

也可以使用 expmo() 函数

>> expmo(339,340,341)
in> expmo(339,340,341)
calculate: 339^340(mod 341)
out> 1