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问题及解答

关于阶乘

Posted by haifeng on 2019-07-28 23:12:54 last update 2021-10-30 22:31:44 | Edit | Answers (1)

$4!+1==25==5^2$

$5!+1==121==11^2$

$7!+1==5041==71^2$

对于 $n!+1=m^2$, 除了上面的 $n=4,5,7$ 之外, 还有解吗?

$11!+1==39916801$ is a prime

 

$27!+1==10888869450418352160768000001$ 很有可能是素数.

 

$29\mid 28!+1$

$31\mid 30!+1$

 

令 

\[
B=\{n\in\mathbb{N}\mid n | (n-1)!+1\}
\]

则 $B$ 中的元素是哪些?

 

 

References:

Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, D25 Equations involving factorial $n$.

 

1

Posted by haifeng on 2021-10-30 23:00:45

利用 Calculator 中的 printSeries() 函数, 我们计算 $(n!+1)\mod (n+1)$ 的值, 如果为 0, 则 $n+1\mid (n!+1)$.

 

>> printSeries((n!+1)mod(n+1),n,1,100,\n)
in> printSeries((n!+1)@(n+1),n,1,100,\n)
0
0
3
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1
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0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0


------------------------

 

整理得 $n+1$ 为:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101

 

这个不就是素数序列吗? 事实上, Wilson 定理说的就是:

$p$ 是素数当且仅当 $p$ 整除 $(p-1)!+1$. (或者用同余式表示, $(p-1)!\equiv -1\pmod p$.)

因此, 上面的集合 $B$ 就是素数集合 PRIMES.