问题及解答

证明: $x^2+2y^2=203$ 无整数解.

References:

潘承洞, 潘承彪, 《数论》   P. 

不妨设 $x,y\in\mathbb{Z}^+$, 注意到 $203=7\times 29$. 因此 $x$ 和 $y$ 均不含有因子 $7$. (即 $7\not|x$ 且 $7\not|y$.) 

[反证法]. 假设存在 $(x_0,y_0)$, 使得 $x_0^2+2y_0^2=203=7\times 29$.

则 $7|(x_0^2+2y_0^2)$. 也就是 $x_0^2+2y_0^2\equiv 0\pmod 7$ . 这推出

\[
x_0^2\equiv -2y_0^2\pmod 7
\]

又因为 $7\not| y_0$, 故 $y_0$ 存在模 $7$ 的逆 $y_0^{-1}$, 即 $y_0\cdot y_0^{-1}\equiv 1\pmod 7$. 于是

\[
x_0^2\cdot(y_0^{-1})^2\equiv (-2)y_0^2\cdot(y_0^{-1})^2\equiv(-2)(y_0\cdot y_0^{-1})^2\equiv -2\pmod 7
\]

即有 $(x_0\cdot y_0^{-1})^2\equiv -2\pmod 7$. 但是 $n^2\pmod 7$ 只有如下可能: $0,1,4,2$. 故 $n^2\equiv -2\pmod 7$ 无解. 矛盾.

因此, 原方程无整数解.