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分析 >> 数学分析 >> 极限
Questions in category: 极限 (Limit).

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1

设数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}$, $x_1=1$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限.

Posted by haifeng on 2017-12-18 16:48:13 last update 2017-12-18 20:54:55 | Answers (1) | 收藏

设 $x_1=1$, $x_2=1+\frac{x_1}{1+x_1}$, $\ldots$, $x_n=1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$, $n=2,3,\ldots$.

我们写出这个数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 的前几项:

\[
\frac{1}{1},\ \frac{3}{2},\ \frac{8}{5},\ \frac{21}{13},\ \frac{55}{34},\ \frac{144}{89},\ \ldots
\]

证明:

(1) 如果 $x_n$ 表示为既约分数 $\frac{a_n}{b_n}$, 则有

\[
b_n^2=a_n\cdot a_{n-1}+1,\qquad b_n\cdot b_{n+1}=a_n^2+1.
\]

(2) 极限 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限值.


 

2

设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上有三阶导数, 如果 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)$ 都存在且有限, 证明: $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f''(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)=0$.

Posted by haifeng on 2017-11-09 20:13:13 last update 2017-11-09 22:21:10 | Answers (1) | 收藏

设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上有三阶导数, 如果 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)$ 都存在且有限,

证明:

\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f''(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)=0.
\]
 

3

求极限 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}$.

Posted by haifeng on 2017-05-30 13:00:28 last update 2017-05-30 13:00:28 | Answers (1) | 收藏

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^n})
\]

4

求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x \sin\frac{1}{t}dt}{x}$.

Posted by haifeng on 2017-05-09 22:20:30 last update 2017-05-09 22:20:30 | Answers (2) | 收藏

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x \sin\frac{1}{t}dt}{x}
\]

5

求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^x-(\sin x)^x}{x-\sin x}$.

Posted by haifeng on 2017-04-10 20:42:31 last update 2017-04-10 20:42:46 | Answers (2) | 收藏

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^x-(\sin x)^x}{x-\sin x}
\]

6

设 $y_n\rightarrow a$, $x_n\rightarrow a$, 问 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(a)$ 成立的条件

Posted by haifeng on 2017-04-09 23:26:32 last update 2017-04-10 19:35:12 | Answers (0) | 收藏

设 $f(x)$ 是定义在 $a$ 点某开邻域 $U$ 上的实值函数, 且 $f$ 在点 $a$ 处可微. 证明: 如果 $U$ 中的两个点列, $x_n$ 递增趋于 $a$, $y_n$ 递减趋于 $a$, 则有

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(a).
\]

 

 


应用此结论, 求解极限

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}x^4\Bigl(\arctan(2+\frac{3}{x^2+1})-\arctan(2+\frac{3}{x^2+2})\Bigr)
\]

 

 


References:

Paulo Ney de Souza, Jorge-Nuno Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition.  Problem 1.4.21 (Sp91).

7

设 $x_1 > 0$, $x_{n+1}=\ln(x_n+1)$. 求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$.

Posted by haifeng on 2017-04-09 08:10:09 last update 2017-04-09 08:10:09 | Answers (1) | 收藏

设 $x_1 > 0$, $x_{n+1}=\ln(x_n+1)$. 求

(1) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$;

(2) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n\cdot x_{n+1}}{x_n-x_{n+1}}$.

8

求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}$

Posted by haifeng on 2017-04-09 07:40:00 last update 2017-04-09 07:40:17 | Answers (2) | 收藏

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}
\]

9

求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$.

Posted by haifeng on 2017-04-08 20:11:02 last update 2017-04-08 20:53:25 | Answers (1) | 收藏

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]

 

[Hint] 用积分

 


或者求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
\]

如果不使用积分, 怎么算?

10

求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\biggl[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n^2+1)^{1/2}}+\cdots+\frac{1}{(n^n+1)^{1/n}}\biggr]$

Posted by haifeng on 2017-04-08 20:04:38 last update 2017-04-08 20:28:22 | Answers (1) | 收藏

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n^2+1)^{1/2}}+\cdots+\frac{1}{(n^n+1)^{1/n}}\biggr]
\]

 

[Hint] 使用夹逼准则.

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