Questions in category: 极限 (Limit)
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1. 设 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 是方程 $\tan x=x$ 的全部正根, 且按升序排列. 求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n-x_{n-1})$.

Posted by haifeng on 2020-05-14 09:16:43 last update 2020-05-14 09:16:43 | Answers (0) | 收藏


设 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 是方程 $\tan x=x$ 的全部正根, 且按升序排列.

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n-x_{n-1}).\]

2. 求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr)^n$.

Posted by haifeng on 2019-11-05 13:25:58 last update 2019-11-05 13:25:58 | Answers (1) | 收藏


求极限

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr)^n\].

3. 设 $a,b,c$ 都是正数, 求 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(a^n+b^n+c^n)^{\frac{1}{n}}$.

Posted by haifeng on 2019-11-05 00:07:30 last update 2019-11-05 00:07:30 | Answers (0) | 收藏


设 $a,b,c$ 都是正数, 求

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}(a^n+b^n+c^n)^{\frac{1}{n}}.\]

4. 求 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x^2+x+1}{x^2+x}\Bigr)^{2x^2}$.

Posted by haifeng on 2019-10-27 11:02:43 last update 2019-10-27 11:03:22 | Answers (1) | 收藏


\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x^2+x+1}{x^2+x}\Bigr)^{2x^2}.\]

5. 求 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}$.

Posted by haifeng on 2019-10-27 10:43:43 last update 2019-10-27 10:44:00 | Answers (1) | 收藏


求 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}$.

6. 求 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)$.

Posted by haifeng on 2019-10-27 10:42:32 last update 2019-10-27 10:42:32 | Answers (1) | 收藏


求 $\lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)$.

7. 求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}$.

Posted by haifeng on 2019-10-13 07:10:35 last update 2019-10-13 07:12:50 | Answers (1) | 收藏


求极限

\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}.\]

 


[分析]

首先, $\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\geqslant\sqrt[3]{a^x b^x c^x}$, 从而

\[
\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}\geqslant\sqrt[3]{abc}.
\]

因此, 如果极限存在, 则极限值大于等于 $\sqrt[3]{abc}$.

8. $\sqrt[n]{n}-1$ 与 $\frac{\ln n}{n}$ 的关系

Posted by haifeng on 2018-09-18 19:48:00 last update 2018-09-18 19:48:40 | Answers (1) | 收藏


证明:

\[
\sqrt[n]{n}-1\sim\frac{\ln n}{n},\quad\text{when}\ n\rightarrow+\infty
\]

9. 设数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}$, $x_1=1$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限.

Posted by haifeng on 2017-12-18 16:48:13 last update 2017-12-18 20:54:55 | Answers (1) | 收藏


设 $x_1=1$, $x_2=1+\frac{x_1}{1+x_1}$, $\ldots$, $x_n=1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$, $n=2,3,\ldots$.

我们写出这个数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 的前几项:

\[
\frac{1}{1},\ \frac{3}{2},\ \frac{8}{5},\ \frac{21}{13},\ \frac{55}{34},\ \frac{144}{89},\ \ldots
\]

证明:

(1) 如果 $x_n$ 表示为既约分数 $\frac{a_n}{b_n}$, 则有

\[
b_n^2=a_n\cdot a_{n-1}+1,\qquad b_n\cdot b_{n+1}=a_n^2+1.
\]

(2) 极限 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限值.


 

10. 设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上有三阶导数, 如果 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)$ 都存在且有限, 证明: $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f''(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)=0$.

Posted by haifeng on 2017-11-09 20:13:13 last update 2017-11-09 22:21:10 | Answers (1) | 收藏


设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上有三阶导数, 如果 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)$ 都存在且有限,

证明:

\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f''(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)=0.
\]
 

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