问题及解答

设 $a$ 是正实数. 递归定义序列 $\{x_n\}$ 为 $x_{n+1}=\sqrt{a(a+1)+x_n}$,  $x_1=\sqrt{a(a+1)}$. 证明 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限.

Pf.  $x_2=\sqrt{a(a+1)+\sqrt{a(a+1)}} > \sqrt{a(a+1)} =x_1$. 故使用归纳法. 假设 $x_{k+1} > x_k$ 成立, 则

\[
x_{k+2}=\sqrt{a(a+1)+x_{k+1}} > \sqrt{a(a+1)+x_k} =x_{k+1}.
\]

因此, $\{x_n\}$ 是一个严格单调递增序列.

另一方面,

\[
\begin{aligned}
x_1=\sqrt{a(a+1)} < a+1,\\
x_2=\sqrt{a(a+1)+\sqrt{a+1}} < \sqrt{a(a+1)+(a+1)}= a+1.
\end{aligned}
\]

因此, 可假设 $x_k < a+1$. 则

\[
x_{k+1}=\sqrt{a(a+1)+x_k} < \sqrt{a(a+1)+(a+1)}=a+1.
\]

这说明 $x_n < a+1$, 对所有 $n\in\mathbb{N}$ 都成立. 因此 $\{x_n\}$ 收敛.

设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A$, 在递推式 $x_{n+1}=\sqrt{a(a+1)+x_n}$ 两边取极限, 得

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a(a+1)+x_n}=\sqrt{a(a+1)+\lim_{n\rightarrow\infty}x_n},
\]

这推出

\[
A=\sqrt{a(a+1)+A}.
\]

由此求出 $A=a+1$.

（法二） 由 $x_n$ 的递归定义知 $x_n >0$. 因此 $x_{n+1} > x_n$ 当且仅当 $x_{n+1}^2 > x_n^2$.

\[
\begin{split}
x_{n+1}^2a=a(a+1)+x_n > x_n^2 \quad&\Leftrightarrow\quad x_n^2-x_n-a(a+1) < 0\\
&\Leftrightarrow\quad \bigl(x_n-(a+1)\bigr)(x_n+a)<0\\
&\Leftrightarrow\quad -a < x_n < a+1.
\end{split}
\]

因此, 如果能证明 $x_n$ 有上界 $a+1$, 则也证明了 $\{x_n\}$ 是严格单调递增序列.

\[
x_1=\sqrt{a(a+1)}<\sqrt{(a+1)^2}=a+1,\\
x_2=\sqrt{a(a+1)+x_1} < \sqrt{a(a+1)+(a+1)}=a+1.
\]

因此可假设 $x_k < a+1$ 成立, 这对于 $k=1,2$ 已经验证. 当 $n=k+1$ 时,

\[
x_{k+1}=\sqrt{a(a+1)+x_k} < \sqrt{a(a+1)+(a+1)}=a+1.
\]

故 $x_n < a+1$ 对所有 $n$ 都成立.

至此, 我们证明了 $\{x_n\}$ 是严格单调递增序列且有上界, 故收敛.  接下来求极限的过程与方法一是一致的.

单调递增的另一种证法.

由 $x_n$ 的递归定义, $x_{n+1}^2=a(a+1)+x_n$, 且 $x_n > 0$. 于是

\[
x_{n+1}^2=a(a+1)+x_n,\\
x_{n}^2=a(a+1)+x_{n-1}.
\]

两式相减,

\[
x_{n+1}^2-x_n^2=x_n-x_{n-1}.
\]

此即

\[
(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}+x_n)=x_n-x_{n-1}.
\]

这说明 $x_{n+1}-x_n$ 与 $x_n-x_{n-1}$ 同号. 而 $x_2-x_1 >0$. 故 $x_{n+1} > x_n$ 对任意 $n$ 都成立.