求极限

\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2x+a+b}}.\]

题目来源:

伏龙芝军事学院大一需要掌握哪些数学

(1)

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{\sin x^3}
\]

[Ans] $\frac{1}{4}$

(2) 

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^{\frac{1}{1-\cos x}}
\]

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\Biggl[\frac{\cos^2\frac{\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{\cos^2\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{\cos^2\frac{n\pi}{n}}{n+\frac{n}{n}}\Biggr]
\]

[分析] 碰到这种有 $n$ 项求和的极限, 一般使用夹逼准则或视为积分的近似和.

1.    $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n^2}$

2.    $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n}$

1.  设 $\alpha >0$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0$.

2.  设 $0 < \alpha < 1$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[(n+1)^\alpha-n^\alpha]=0$.

3.  设 $\alpha > 0$, $a > 1$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{\alpha}}{a^n}=0$.

4.  设 $a > 0$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$.

5.  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$.

6.  求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$.

Remark:

第 6 题参见问题685 或 Wallis 公式(问题702)

References:

梅加强  编著  《数学分析》,  高等教育出版社.

求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{k}-(n-1)^k}{n^{k-1}}$.

设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, $k$ 为正整数, 则

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{k+1}}(a_1+2^k a_2+\cdots+n^k a_n)=\frac{A}{k+1}.
\]

[Hint]

利用 Stolz 公式, 以及问题2595 .

References:

梅加强, 《数学分析》习题

判断函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n\arctan(nx)}{\sqrt{n^2+n}}$ 是否连续. 若不连续, 指出间断点及其类型.

3. 设当 $x\rightarrow 0$ 时, $\sec x-\cos x$ 与 $\sqrt{a+x^n}-\sqrt{a}$ 是等价无穷小, 求常数 $a$ 与 $n$.

6. 利用等价无穷小代换法求下列极限:

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x\ln(1-2x)}{1-\sec x}$

(5)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x-\tan x}{x\ln(1+x^2)}$

(7)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x\ln\frac{x+1}{x}$

(8)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{e^{x^2}-1}$  

P. 44--45

4. 求下列极限

(4) $\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{2x-\pi}$

(5) $\lim\limits_{x\rightarrow\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}$

(7) $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{x}{\sqrt{1-\cos x}}$

5. 求下列极限

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 1}(3-2x)^{\frac{3}{x-1}}$

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x-2}\Bigr)^x$

(8)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\biggl(\frac{n^2+3}{n^2+1}\biggr)^{n^2}$