设曲线 $y=\Bigl[x\ln(1+\frac{1}{x})\Bigr]^{kx}$ 有水平渐近线 $y=e$, 求常数 $k$.

[Hint] 使用 Taylor 公式. 

也可以不用 Taylor 公式做.

等价地, 求  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x\ln\bigl[x\ln(1+\frac{1}{x})\bigr]$

求极限

1.    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-\tan x)^{\cot 2x}$.

2.   $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

3.   $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-\tan x)^{\cot x}$.

设 $a < b$, $x_0=a$, $x_1=b$, $x_n=\dfrac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}$, $(n=2,3,\ldots)$, 证明:

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\frac{a+2b}{3}.
\]

求极限

\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2x+a+b}}.\]

题目来源:

伏龙芝军事学院大一需要掌握哪些数学

(1)

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{\sin x^3}
\]

[Ans] $\frac{1}{4}$

(2) 

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^{\frac{1}{1-\cos x}}
\]

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\Biggl[\frac{\cos^2\frac{\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{\cos^2\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{\cos^2\frac{n\pi}{n}}{n+\frac{n}{n}}\Biggr]
\]

[分析] 碰到这种有 $n$ 项求和的极限, 一般使用夹逼准则或视为积分的近似和.

1.    $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n^2}$

2.    $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n}$

1.  设 $\alpha >0$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0$.

2.  设 $\alpha > 0$, $a > 1$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{\alpha}}{a^n}=0$.

3.  设 $a > 0$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$.

4.  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$.

5.  求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$.

Remark:

第 5 题参见问题685 或 Wallis 公式(问题702)

References:

梅加强  编著  《数学分析》,  高等教育出版社.

求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{k}-(n-1)^k}{n^{k-1}}$.

设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, $k$ 为正整数, 则

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{k+1}}(a_1+2^k a_2+\cdots+n^k a_n)=\frac{A}{k+1}.
\]

[Hint]

利用 Stolz 公式, 以及问题2595 .

References:

梅加强, 《数学分析》习题