问题及解答

已知 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x^2+1}{x+1}-kx\Bigr)$ 存在且等于 $a$, 求常数 $k$ 与 $a$ 的值.

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl(\frac{x^2+1}{x+1}-kx\biggr)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(x^2+1)-kx(x+1)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(1-k)x^2-kx+1}{x+1}
\]

由条件, 此极限存在, 故 $k=1$. 代入此式, 得

\[
a=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-x+1}{x+1}=-1.
\]