求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_0^1(1-t^2)^n\mathrm{d}t$.

[Hint] 可以证明

\[
\int_0^1(1-t^2)^n\mathrm{d}t=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
\]

参见 梅加强 著 《数学分析》 例 5.7.1

相关问题:  问题685,  问题1825.

求下列极限

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}x\Bigl[\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^x-e\Bigr]
\]

此题等价于问题1472.

求下列极限.

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\Bigr)
\]

设 $x_1=\sqrt{6}$, $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$, $n=1,2,3,\ldots$. 证明数列 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限.

设 $a,b$ 是常数, 满足 $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1}=1$, 求 $a$ 和 $b$ 的值.

求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\dfrac{2x-4}{2x+1}\Bigr)^{2x}$.

求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sec x-\cos x}{x^2}$.

利用极限存在准则证明下列极限.

(1)   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$.

(2)   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\Bigr)$ 存在.

利用极限的定义证明

(1)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x+1}{2x}=\dfrac{1}{2}$

(2)   $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2$

P.30  习题1.4

3. 求下列极限

(1)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x\cos\dfrac{2}{x}$

(2)  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\sin n}{2^n}$

(3)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1+\cos x}{x}$

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\arctan x}{x}$

(5)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2x+1}$

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2-\sin x-\cos x}$