问题及解答

证明:

\[\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{e^x}=0.\]

注意到 $x-1<[x]\leqslant x$, 故

\[
\frac{x}{e^x}<\frac{[x]+1}{e^x}\leqslant\frac{[x]+1}{e^{[x]}}
\]

因此只要证明

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{e^n}=0.
\]

而

\[
\frac{n}{e^n}<\frac{n}{2^n}.
\]

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n}{2^n}=0$ 的证明非常简单(见问题3351). 一般的, 对于 $\alpha>0$, $a>1$, 可证明

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{\alpha}}{a^n}=0.
\]

见问题2660.