证明: (1) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$.
由此得 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+1]{n}=1=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}$.
并可证明 (2) $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^{\frac{1}{x}}=1$.
1
Pf. 设 $\sqrt[n]{n}=1+\alpha_n$, 则 $n=(1+\alpha_n)^n$. 可见 $\alpha_n > 0$. 将其展开, 得
\[n=(1+\alpha_n)^n=1+n\alpha_n+\frac{n(n-1)}{2}\alpha_n^2+\cdots+\alpha_n^n > \frac{n(n-1)}{2}\alpha_n^2. \]
即有 $n > \frac{n(n-1)}{2}\alpha_n$. 当 $n > 1$ 时, 这推出
\[
0\leqslant \alpha_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}}.
\]
应用夹逼原理, 得 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$, 从而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$.
我们还可以证明 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 这个数列当 $n\geqslant 3$ 时是严格单调递减的. (见问题1714.)
当 $n\geqslant 2$ 时,
\[
2^{\frac{1}{n+1}}\leqslant n^{\frac{1}{n+1}} < n^{\frac{1}{n}},
\]
由夹逼原理得 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+1]{n}=1$.
另一方面, 注意到不等式
\[
n^{\frac{1}{n}} < (n+1)\frac{1}{n}=\sqrt[n]{n+1} < \sqrt[n]{2n}=\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{n},
\]
故由夹逼原理推出 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}=1$.
参考 [1]
[1] 梅加强 编著 《数学分析》
2
(2) 证明: 对于 $x > 0$, 由 $[x]\leqslant x < [x]+1$ 推出
\[
\frac{1}{[x]+1} < \frac{1}{x}\leqslant\frac{1}{[x]}.
\]
于是,
\[
[x]^{\frac{1}{[x]+1}} < [x]^{\frac{1}{x}}\leqslant x^{\frac{1}{x}} <([x]+1)^{\frac{1}{x}}\leqslant([x]+1)^{\frac{1}{[x]}}.
\]
由于 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+1]{n}=1=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}$, 故应用夹逼原理, 知
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{\frac{1}{x}}=1.
\]