求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}n^2(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}),\]

这里 $x > 0$.

求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}(x^x -1)\ln x$.

求极限

\[\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sin(\sin(\cdots(\sin x)))\] 

($n$ 次复合函数).

若记 $a_1=\sin x$, $a_n=\sin(a_{n-1})$. 即 $a_n=\sin(\sin(\cdots(\sin x)))$, ($n$ 次复合函数). 则证明

\[
\prod_{n=1}^{\infty}\cos a_n
\]

发散.

若记 $d_n=a_n-a_{n+1}$, 则可以证明:

Claim 1.   $\{d_n\}$ 严格递减趋于 0.

Claim 2.  $\frac{1}{2}d_{n+1} < \sin\frac{d_n}{2}$.

Claim 3.  $d_n < \sin d_{n-1}$.

Claim 4.  $\frac{d_{n+1}}{d_n} < \cos\frac{d_n}{2}$

证明

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{n}{x_1+x_2+\cdots+x_n}dx_1 dx_2\cdots dx_n=2.
\]

[分析]

$n=1$ 时, 

\[
\int_0^1 \frac{1}{x_1}dx_1=\ln x\biggr|_{0}^{1}=+\infty.
\]

$n=2$ 时,

\[
\begin{split}
\int_0^1\int_0^1\frac{2}{x_1+x_2}dx_1 dx_2&=\int_0^1 \int_0^1\frac{2}{t+x}dt dx\\
&=\int_0^1\biggl[2\ln(t+x)\biggr|_{t=0}^{t=1}\biggr]dx\\
&=2\int_0^1[\ln(1+x)-\ln x]dx\\
&=2\int_0^1\ln(1+\frac{1}{x})dx\\
&=2\biggl[x\ln(1+\frac{1}{x})\biggr|_0^1-\int_0^1 xd\ln(1+\frac{1}{x})\biggr]\\
&=2\biggl[\ln 2-\int_0^1 x\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot\frac{-1}{x^2}dx\biggr]\\
&=2\biggl[\ln 2+\int_0^1\frac{1}{x+1}dx\biggr]\\
&=4\ln 2.
\end{split}
\]

设 $x$ 为实数, 且 $|x|<1$. 问下面的极限是否存在

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^6)\cdots(1+x^{2n})
\]

如果存在, 等于多少?

求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}n(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}-\ln 2)\]

[hint]

利用 Stolz 公式

设 $x_n > 0$, $\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n)=x>0$. $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{y_n}{x_n}=a > 0$. 求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{x_n}\biggr)^{y_n}.
\]

求下面的极限

\[
\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^n}{e^t-1},\quad\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^n}{e^t-1}.
\]

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\int_0^x\arctan(x-t)dt}{\sin(3x)\ln(1+2x)}
\]

证明:

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{i=1}^{n+1}\cos\frac{\sqrt{2i-1}}{n}a^2=e^{-\frac{a^4}{2}}.
\]

Remark. 如果取对数, 则等价于

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n+1}\ln\cos\frac{\sqrt{2i-1}}{n}a^2=-\frac{a^4}{2}.
\]