问题及解答

求极限

\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}.\]

[分析]

首先, $\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\geqslant\sqrt[3]{a^x b^x c^x}$, 从而

\[
\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}\geqslant\sqrt[3]{abc}.
\]

因此, 如果极限存在, 则极限值大于等于 $\sqrt[3]{abc}$.

显然, 此题可以推广到一般情形, 且有不同的形式

设 $a_1, a_2,\ldots, a_n$ 都是正数. 求

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl(\frac{a_1^{\frac{1}{x}}+a_2^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_n^{\frac{1}{x}}}{n}\biggr)^{nx}
\]

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{x}\ln\frac{a^x+b^x+c^x}{3}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln\frac{a^x+b^x+c^x}{3}}.
\]

其中

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln\frac{a^x+b^x+c^x}{3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln\bigl(\frac{a^x-1+b^x-1+c^x-1}{3}+1\bigr)
\]

注意到 $a^x-1\sim x\ln a$, (当 $x\rightarrow 0$ 时). (参见问题2327)

因此, $\frac{a^x-1+b^x-1+c^x-1}{3}\rightarrow 0$, 当 $x\rightarrow 0$ 时. 因此,

\[
\ln\bigl(\frac{a^x-1+b^x-1+c^x-1}{3}+1\bigr)\sim\frac{a^x-1+b^x-1+c^x-1}{3}\sim\frac{x}{3}\ln(abc).
\]

(注意, 这里用到了无穷小在加减法时的代换规则, 详见问题2333.)

于是

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln\bigl(\frac{a^x-1+b^x-1+c^x-1}{3}+1\bigr)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{3}\ln(abc)=\ln\bigl((abc)^{\frac{1}{3}}\bigr)
\]

因此,

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}=\sqrt[3]{abc}.
\]
 

也可以用洛必达(L'Hospital)法则.