设 $x\geqslant 0$, 证明

\[
\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x+\theta(x)}},
\]

其中 $\theta(x)$ 满足不等式 $\frac{1}{4}\leqslant\theta(x) < \frac{1}{2}$.

求

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}.\]

若令 $t=\frac{1}{x}$, 则题目变为

\[
\lim_{t\rightarrow\infty}t\Bigl[(1+\frac{1}{t})^t-e\Bigr]
\]

参见问题3238

类似的题目

求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}n\biggl[e(1+\frac{1}{n})^{-n}-1\biggr]
\]

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl[\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}-\frac{x}{e}\biggr]
\]

设 $f(x)=nx(1-x)^n$, $n$ 为自然数, 求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\max_{x\in[0,1]}f(x).
\]

\[
\lim_{x\rightarrow -\infty}\biggl(\frac{x+1}{x-2}\biggr)^{2x-1},
\]

\[
\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{(\frac{x+1}{x-2})^{2x-1}}.
\]

判断极限 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos x}}{\tan x}$ 是否存在

设 $f\in C^2[0,1]$, 满足 $f(1)=0$, $f'(1)=a$. 证明

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}n^2\int_0^1 x^n f(x)\mathrm{d}x=-a.
\]

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\biggr)^{2n-1}
\]

设

\[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+ax^2+bx+2}{x-1}=3,\]

求 $a,b$ 的值.

类似的问题

设

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax-\sin x}{\int_b^x\ln(1+t^2)dt}=c,
\]

求 $a,b,c$ 的值.

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl[\frac{3}{1^2\cdot 2^2}+\frac{5}{2^2\cdot 3^2}+\cdots+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}\biggr]
\]

设 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 用定义证明

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}n\sin\frac{x_n}{n^2}=0.
\]