令 $t_{n-k}=x_1+x_2+\cdots+x_{n-k}$, $k=0,1,2,\ldots,n-1$.
并记
\[
\varphi_n=\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{n}{x_1+x_2+\cdots+x_n}dx_1 dx_2\cdots dx_n
\]
我们证明 $\varphi_n$ 关于 $n$ 是递减的. 即有
\[
\varphi_{n-1}=\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{n-1}{t_{n-1}}dx_1 dx_2\cdots dx_{n-1} > \int_0^1\cdots\int_0^1\frac{n}{t_n}dx_1 dx_2\cdots dx_n=\varphi_n.
\]
事实上有
\[
\begin{split}
\frac{n-1}{t_{n-1}} & > \int_0^1 \frac{n}{t_n}dx_n\\
&=n\ln t_n\biggr|_{t_{n-1}}^{t_{n-1}+1}\\
&=n\ln(1+\frac{1}{t_{n-1}})
\end{split}
\]
等价于
\[
\frac{n-1}{n} > t_{n-1}\ln(1+\frac{1}{t_{n-1}})
\]
注意到 $t_{n-1}=x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}\leqslant n-1$. 而 $(1+\frac{1}{x})^x$ 关于 $x$ 是严格递增的. 因此
\[
t_{n-1}\ln(1+\frac{1}{t_{n-1}})\leqslant(n-1)\ln(1+\frac{1}{n-1}).
\]
我们只要证明 $\ln(1+\frac{1}{n-1}) < \frac{1}{n}$ 即可, 此不等式即 $\ln n-\ln(n-1) < \frac{1}{n}$. 容易证明
\[
\frac{1}{n} < \ln n-\ln(n-1) < \frac{1}{n-1}.
\]
因此, 得换个思路. 假设 $t_{n-1}=n-1-\varepsilon$, 是否有
\[
(n-1-\varepsilon)\ln(1+\frac{1}{n-1-\varepsilon}) < \frac{n-1}{n}.
\]
这等价于
\[
\begin{split}
&(n-1)\ln(1+\frac{1}{n-1-\varepsilon})-\varepsilon\ln(1+\frac{1}{n-1-\varepsilon})<(n-1)\cdot\frac{1}{n}\\
\Leftrightarrow &(n-1)\biggl[\ln(1+\frac{1}{n-1-\varepsilon})-\frac{1}{n}\biggr] < \varepsilon\cdot\ln(1+\frac{1}{n-1-\varepsilon})
\end{split}
\]
注意到
\[
\ln(1+\frac{1}{n-1-\varepsilon})-\frac{1}{n}=\ln(n-\varepsilon)-\ln(n-1-\varepsilon)-\frac{1}{n} > \frac{1}{n-\varepsilon}-\frac{1}{n} > 0.
\]
因此, 我们证明了 $\varphi_n$ 关于 $n$ 是严格递减的.
