问题及解答

求下面的极限

\[
\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^n}{e^t-1},\quad\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^n}{e^t-1}.
\]

应用洛必达法则,

\[
\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^n}{e^t-1}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{nt^{n-1}}{e^t}=\cdots=\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{n!}{e^t}=0.
\]

\[
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^n}{e^t-1}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{nt^{n-1}}{e^t}=\cdots=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{n!}{e^t}=n!.
\]