问题及解答

求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}n(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}-\ln 2)\]

[hint]

利用 Stolz 公式

令 $x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}-\ln 2$, $y_n=\frac{1}{n}$. 则 $y_n$ 严格递减趋于 0, 而 $x_n\rightarrow 0$.

这是因为(见问题1183)

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n})=\ln 2
\]

于是可以应用 Stolz 公式.

注意到

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}}=-\frac{1}{2},
\]

故有

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}-\ln 2}{\frac{1}{n}}=-\frac{1}{2},
\]

因此

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}n(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}-\ln 2)=1+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}-\ln 2}{\frac{1}{n}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
\]