问题及解答

设 $a_{k}=\underbrace{111\cdots 1}$, 其中 1 的个数是 $k$ 个. 证明

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\times a_{n-1}}{a_n}=+\infty.
\]

显然, 

\[
1 < \frac{10^{n-1}}{a_{n-1}} < 10
\]

于是

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{na_{n-1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{na_{n-1}}{10^{n-1}+a_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\frac{10^{n-1}}{a_{n-1}}+1}=+\infty
\]