设 $x_n > 0$, $\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n)=x>0$. $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{y_n}{x_n}=a > 0$. 求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{x_n}\biggr)^{y_n}.
\]
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令 $S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n$, 则由条件 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n)=x > 0$ 推出 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n=+\infty$.
我们证明, $\frac{S_{n-1}}{x_n} > \sigma$. 当然我们的直觉是趋于无穷大. 但暂时不考虑这个.
假若 $\frac{S_{n-1}}{x_n} < M$, 对任意 $n$, 则可推出
\[
S_n=S_{n-1} +x_n< (M+1)x_n.
\]
于是
\[
S_n+(M+1)S_{n-1}< (M+1)x_n+(M+1)S_{n-1}=(M+1)S_n
\]
从而
\[
(M+1)S_{n-1} < MS_n
\]
存在某个 $\sigma > 0$, 使得
\[
\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{x_n}=1+\frac{S_{n-1}}{x_n} > 1+\sigma,\quad\text{当}\ n > N_0.
\]
事实上,
\[
\begin{split}
S_{n-1}-\sigma x_n &=x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}-\sigma x_n\\
&=x_1+x_2+\cdots+(1-\sigma)x_{n-1}-\sigma(x_n-x_{n-1})\\
\end{split}
\]
由于 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n-x_{n-1})=x > 0$, 故存在 $N_1 > 0$, 当 $n > N_1$ 时, $(x_n-x_{n-1}) < (x+\varepsilon)$. 于是
\[
x_1+x_2+\cdots+(1-\sigma)x_{n-1}-\sigma(x_n-x_{n-1}) > x_1+x_2+\cdots+(1-\sigma)x_{n-1}-\sigma(x+\varepsilon).
\]
而 $x_n\not\rightarrow 0$, 不论极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$ 是否存在( $x_n$ 有可能趋于无穷, 也可能是振荡的, 比如 $x_{2k-1}=1$, $x_{2k}=2$.), 我们都有
\[
x_1+x_2+\cdots+(1-\sigma)x_{n-1}-\sigma(x+\varepsilon) > (1-\sigma)S_{n-1}.
\]
因此 $S_{n-1}-\sigma x_n >(1-\sigma)S_{n-1}$. 于是
(1) 如果 $x_n\rightarrow\infty$, 则
\[
\biggl(\frac{x_1+\cdots+x_n}{x_n}\biggr)^{y_n} > (1+\sigma)^{y_n} > (1+\sigma)^{x_n(a-\epsilon)}\rightarrow\infty,
\]
故
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{x_1+\cdots+x_n}{x_n}\biggr)^{y_n}=+\infty.
\]
(2) 如果 $x_n$ 是振荡的, $A\leqslant x_n \leqslant B$, 且假设 $\frac{S_{n-1}}{x_n} < M$, 则 $MS_n \geqslant M\cdot nA$, 而根据 $(M+1)S_n < MS_{n}$ 可推出
\[
MS_n < S_{n+M-1}
\]
于是有
\[
MnA <(n+M-1)B,
\]
导出矛盾. 故此时必有 $\frac{S_{n-1}}{x_n}$ 无界, 故
\[
\biggl(\frac{x_1+\cdots+x_n}{x_n}\biggr)^{y_n} > (\frac{x_1+\cdots+x_n}{x_n}\biggr)^{x_n(a-\epsilon)}\rightarrow\infty,
\]
也推出
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{x_1+\cdots+x_n}{x_n}\biggr)^{y_n}=+\infty.
\]