求下列极限

(1)   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}\Bigr)$

求极限

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+(2n)^2})\]

$f(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数, 具体为

\[f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n},\]

证明 $f(x)\in C([0,+\infty))$.

已知当 $x\rightarrow 0^+$ 时,

\[\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\sim\sqrt[\beta]{x},\]

求 $\beta$.

求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln(1+x+x^2+x^3)$.

已知 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x^2+1}{x+1}-kx\Bigr)$ 存在且等于 $a$, 求常数 $k$ 与 $a$ 的值.

设

\[a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots\sqrt{1+n}}}}},\]

求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$.

证明:

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}=1.\]

Q. 下面的做法正确吗?

\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\biggl[(1+\frac{-\ln n}{n})^{\frac{n}{-\ln n}}\biggr]^{-\ln n}}{\frac{1}{n}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^{-\ln n}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1
\end{split}
\]

或者

\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}&=\lim_{n\rightarrow\infty} n(1-\frac{\ln n}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\ln n}\cdot\biggl[(1+\frac{-\ln n}{n})^{\frac{n}{-\ln n}}\biggr]^{-\ln n}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\ln n}\cdot e^{-\ln n}=1.
\end{split}
\]

求极限

\[\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{2x+1}{2x-3})^{3x-1}.\]

证明:

\[\lim_{x\rightarrow 0}x\ln(\sin x)=0.\]

\[\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\ln(\cos x)\cdot\ln(\sin x)=0.\]