问题及解答

设 $a,b$ 是常数, 满足 $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1}=1$, 求 $a$ 和 $b$ 的值.

由于 $x^2-1\rightarrow 0$ $(x\rightarrow 1)$, 故 $\lim\limits_{x\rightarrow 1}(\sqrt{x+a}+b)=0$, 即

\[
\sqrt{1+a}+b=0.
\]

这推出 $a+1=b^2$.

另一方面

\[
\begin{split}
1=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1}&=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+a)-b^2}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a}-b)}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a}-b)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+a}-b)}=\frac{1}{2(\sqrt{a+1}-b)}.
\end{split}
\]

这推出

\[
\sqrt{a+1}-b=\frac{1}{2}.
\]

又 $\sqrt{a+b}=-b$, 代入上式, 得 $b=-\dfrac{1}{4}$. 从而 $a=b^2-1=-\dfrac{15}{16}$.