问题及解答

求 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}$.

当 $x\rightarrow 0$ 时, $xe^x\rightarrow 0$,

\[
\lim_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\Bigl[(1+xe^x)^{\frac{1}{xe^x}}\Bigr]^{e^x(x+1)}=e^1=e.
\]