(1) (使用归纳法证明) 对于前几项, 容易验证结论成立. 因此假设对于 $n=1,2,3,\ldots,k$, 我们有
\[
b_n^2=a_n a_{n-1}+1,\qquad a_n^2=b_n b_{n+1}-1.
\]
我们要证明上面的等式对于 $n=k+1$ 时也成立.
首先, 显然有 $a_{n+1}=2a_n+b_n$, $b_{n+1}=a_n+b_n$.
事实上, 若 $x_n=\frac{a_n}{b_n}$, 则
\[
x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}=1+\frac{\frac{a_n}{b_n}}{1+\frac{a_n}{b_n}}=\frac{2a_n+b_n}{a_n+b_n}
\]
记 $d=(2a_n+b_n,a_n+b_n)$, 容易证明 $d|(a_n,b_n)$, 从而由于 $(a_n,b_n)=1$, 可知 $2a_n+b_n$ 与 $a_n+b_n$ 互素.
设
\[
\begin{cases}
2a_n+b_n&=dh,\\
a_n+b_n&=d\ell.
\end{cases}
\]
则 $d(h-\ell)=a_n$, $2d\ell-dh=b_n$, 从而 $d|(a_n,b_n)$.
因此有 $a_{n+1}=2a_n+b_n$, $b_{n+1}=a_n+b_n$.
(a) 当 $n=k+1$ 时,
\[
b_{k+1}^2=(a_k+b_k)^2=a_k^2+2a_k b_k+b_k^2,
\]
另一方面,
\[
a_{k+1}a_k+1=(2a_k+b_k)a_k+1=2a_k^2+a_k b_k+1.
\]
于是
\[
b_{k+1}^2=a_{k+1}a_k+1\Leftrightarrow a_k b_k+b_k^2=a_k^2+1\Leftrightarrow (a_k+b_k)b_k=a_k^2+1\Leftrightarrow b_{k+1}b_k=a_k^2+1.
\]
而最右端根据归纳假设是成立的, 因此 $b_{k+1}^2=a_{k+1}a_k+1$.
(b) 类似的, 可以证明 $a_{k+1}^2=b_{k+1}b_{k+2}-1$.
\[
a_{k+1}^2=(2a_k+b_k)^2=4a_k^2+4a_k b_k+b_k^2,
\]
另一方面,
\[
\begin{split}
b_{k+1}b_{k+2}-1&=(a_k+b_k)(a_{k+1}+b_{k+1})-1\\
&=(a_k+b_k)(2a_k+b_k+a_k+b_k)-1\\
&=(a_k+b_k)(3a_k+2b_k)-1\\
&=3a_k^2+5a_k b_k+2b_k^2-1.
\end{split}
\]
因此,
\[
\begin{split}
&a_{k+1}^2=b_{k+1}b_{k+2}-1\\
\Leftrightarrow\ &4a_k^2+4a_k b_k+b_k^2=3a_k^2+5a_k b_k+2b_k^2-1\\
\Leftrightarrow\ &a_k^2=a_k b_k+b_k^2-1\\
\Leftrightarrow\ &a_k^2=a_k b_k+a_k a_{k-1}\\
\Leftrightarrow\ &a_k=a_{k-1}+b_k.
\end{split}
\]
而 $a_k=a_{k-1}+b_k$ 显然可以从 $a_k=2a_{k-1}+b_{k-1}$ 与 $b_k=a_{k-1}+b_{k-1}$ 导出.
(2)
由 (1) , 我们有
Claim. $\frac{a_n}{b_n} < \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}$.
Pf.
\[
\begin{split}
& a_{n+1}b_n-a_n b_{n+1}\\
=\ & (2a_n+b_n)b_n-a_n(a_n+b_n)\\
=\ & a_n b_n+b_n^2-a_n^2\\
=\ & (a_n+b_n)b_n-a_n^2\\
=\ & b_{n+1}b_n-a_n^2\\
=\ & 1.
\end{split}
\]
因此, $\{x_n=\frac{a_n}{b_n}\}$ 是严格单调递增的. 又显然有 $x_n < 2$, 故 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 有极限.
假设 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n=A$, 则在
\[
x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}
\]
两端取极限, 得
\[
\begin{split}
&\ \lim_{n\rightarrow+\infty}x_{n+1}=\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{x_n}{1+x_n})\\
\Rightarrow&\ A=1+\frac{A}{1+A}\\
\Rightarrow&\ (A-1)(A+1)=A\\
\Rightarrow&\ A^2-A-1=0\\
\Rightarrow&\ A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
\end{split}
\]
注意 $A=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 应舍去.
