问题及解答

设

\[a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots\sqrt{1+n}}}}},\]

求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$.

首先我们可以证明 $a_n < a_{n+1}$, 即数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是递增数列.

其次, 证明该数列有上界, 从而有极限.

Claim 1.  $a_n < a_{n+1}$

Pf. 即证明

\[\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots\sqrt{1+n}}}}} < \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots\sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)}}}}}},\]

此等价于 $n < n\sqrt{1+(n+1)}$, 显然成立.

Claim 2.  $a_n < 3$.

Pf.  $a_1=\sqrt{1}=1$.  $a_2=\sqrt{1+2\sqrt{1}} < 3$.

\[
a_3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1}}} < \sqrt{1+2(1+3)}=3.
\]

由于 $\sqrt{1+4} < 5$, 故

\[
a_4=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1}}}} < \sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}=3.
\]

可以由 $\sqrt{1+n} < 1+n$ 推出 $a_n < 3$.

\[
\begin{split}
a_n&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots\sqrt{1+n}}}}}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots(n-1)\sqrt{1+n}}}}}\\
& < \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots(n-1)(1+n)}}}}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots(n-2)\sqrt{1+n^2-1}}}}}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots(n-3)\sqrt{1+(n-2)n}}}}}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots(n-4)\sqrt{1+(n-3)(n-1)}}}}}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots(n-4)(n-2)}}}}\\
&\vdots\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}\\
&=3.
\end{split}
\]

(注: 上面这个过程像多米诺骨牌一样, 很有意思.)

因此, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ 存在, 且小于等于3. 下面证明这个极限就是 3.

Claim 3.  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=3$. 

为证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=3$, 先准备两个简单的结论.

之前已经证明了 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ 存在, 且小于等于 3. 设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$. 则 $A\leqslant 3$.

记 $A_1=A$, $A_2=\frac{1}{2}(A_1^2-1)$, $A_3=\frac{1}{3}(A_2^2-1)$, $\ldots$, $A_n=\frac{1}{n}(A_{n-1}^2-1)$.

类似的, 构造序列 $\{B_n\}$, 满足 $B_1=3$, $B_n=\frac{1}{n}(B_{n-1}^2-1)$.

容易证明:

(1) $A_1=A > 1+\sqrt{2}$.

(2)  $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是单调递增序列.

(3)  $B_n=n+2$.

Pf.

(1)  

\[
A > a_4=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4}}} > 1+\sqrt{2}
\]

(2) 

考虑函数 $f(x)=\frac{1}{2}(x^2-1)$.  令 $f(x) > x$, 即 $x^2-1 > 2x$, 解得 $x > 1+\sqrt{2}$ (或 $x < 1-\sqrt{2}$, 不符合 $x > 0$ 的要求). 故 $A_2=\frac{1}{2}(A_1^2-1) > A_1$.

类似的, 可以证明 $A_n=\frac{1}{n}(A_{n-1}^2-1) > A_{n-1}$, 即 $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是严格单调递增的.

(3)  (用归纳法证明即可.)

$B_1=3$, $B_2=\frac{1}{2}(B_1^2-1)=\frac{1}{2}(3^2-1)=4$. 

假设 $B_k=k+2$, 则

\[
B_{k+1}=\frac{1}{k+1}(B_k^2-1)=\frac{1}{k+1}\bigl((k+2)^2-1\bigr)=\frac{(k+3)(k+1)}{k+1}=k+3.
\]

因此,  $B_n=n+2$ 对任意 $n\in\mathbb{Z}^+$ 都成立.