问题及解答

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\Biggl[\frac{\cos^2\frac{\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{\cos^2\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{\cos^2\frac{n\pi}{n}}{n+\frac{n}{n}}\Biggr]
\]

[分析] 碰到这种有 $n$ 项求和的极限, 一般使用夹逼准则或视为积分的近似和.

对于 $i=1,2,\ldots,n$,

\[
\frac{\cos^2\frac{i\pi}{n}}{n+1}\leqslant\frac{\cos^2\frac{i\pi}{n}}{n+\frac{i}{n}}\leqslant\frac{\cos^2\frac{i\pi}{n}}{n}
\]

因此,

\[
\frac{n}{n+1}\cdot\sum_{i=1}^{n}\cos^2\frac{i\pi}{n}\cdot\frac{1}{n}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\frac{\cos^2\frac{i\pi}{n}}{n+\frac{i}{n}}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\cos^2\frac{i\pi}{n}\cdot\frac{1}{n}
\]

由于

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\cos^2\frac{i\pi}{n}\cdot\frac{1}{n}=\int_0^1\cos^2(\pi x)\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{1+\cos(2\pi x)}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2},
\]

故

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{\cos^2\frac{i\pi}{n}}{n+\frac{i}{n}}=\frac{1}{2}.
\]

类似可证或可直接推出

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{\sin^2\frac{i\pi}{n}}{n+\frac{i}{n}}=\frac{1}{2}.
\]