问题及解答

如何证明 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$.

问题的关键是证明:

\[
\sin x < x < \tan x,\quad\forall x\in (0,\frac{\pi}{2}).
\]

对于（欧几里得）平面上的圆, 我们假定其周长 $c$ 与直径 $d$ 的关系是知道的, 即平面上任何一个圆, 它的周长与直径的比是定值, 记此值为 $\pi$, 称为圆周率. $c=\pi d$, 从而半圆的长度是半径的 $\pi$ 倍. 由此可以建立弧度制. (建立弧度制不需要积分的概念, 只需要承认同一个圆中相等圆心角所对的弧是全等的.)

在直角坐标系中考虑以原点为圆心的单位圆, 如上图所示. 设弧 $\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}$ 所对的圆心角为 $x$. 则弧 $\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}$ 的弧长是圆周长度的 $\frac{x}{2\pi}$ 倍, 而此时单位圆的周长为 $2\pi$, 故孤 $\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}$ 的长度(记为 $|\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}|$)也是 $x$. 下面我们证明

\[
\sin x < x <\tan x.
\]

图中 $|CD|=\sin x$, $|AB|=\tan x$. 注意 $|CD| < |AD| < |\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}|$, 因此 $\sin x < x$.

作 $\angle AOD$ 的角平分线, 交 $AB$ 于点 $E$, 交弧 $\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}$ 于点 $F$. 连接 $DE$, 易证 $|DE|=|AE|$, $DE\perp OB$. 于是

\[
|DE|+|AE| < |BE|+|AE|=|AB|.
\]

因此, 若能证明 $|\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}| <|DE|+|AE|$, 即可得 $x < \tan x$.  而这等价于证明 $\frac{1}{2}|\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}| < |AE|$, 即 $\dfrac{x}{2} < \tan\dfrac{x}{2}$.

$|DE|+|AE|=2|AE|=2\tan\frac{x}{2}$. 若继续将 $\angle AOE$ 和 $\angle EOD$ 作平分, 可得到四段折线, 它们的长度之和小于 $|DE|+|AE|$, 即

\[
4\tan\frac{x}{4} < 2\tan\frac{x}{2}.
\]

将四个角每个进行平分, 可得八段折线, 它们的长度之和又小于上面的四段折线长度之和, 即

\[
8\tan\frac{x}{8} < 4\tan\frac{x}{4}.
\]

如此进行下去, 可得一个严格递减数列

\[
\cdots < 2^n\tan\frac{x}{2^n} < 2^{n-1}\tan\frac{x}{2^{n-1}} < \cdots < 8\tan\frac{x}{8} < 4\tan\frac{x}{4} < 2\tan\frac{x}{2}.
\]

而 $2^n\tan\frac{x}{2^n}$ 始终大于线段 $AD$ 的长度, 因此数列 $\{2^n\tan\frac{x}{2^n}\}$ 有下界, 故收敛.

由于这些折线段的极限是弧 $\stackrel{\mbox{$\frown$}}{AD}$ (这些折线段上的点沿着向径趋向于圆周上的点), 因此

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}2^n\tan\frac{x}{2^n}=x.
\]

又数列 $\{2^n\tan\frac{x}{2^n}\}$ 是严格递减的, 由极限的保号性知

\[
2^n\tan\frac{x}{2^n} > x,\quad\forall\ n=1,2,\ldots.
\]

因此

\[
2\tan\frac{x}{2} > x,
\]

从而推出 $x < \tan x$. 

若将圆周角 $2\pi$ 作 $2^n$ 等分, 即令 $x_n=\dfrac{2\pi}{2^n}$, 于是作单位圆的外接正 $2^n$ 多边形(记为 $P_n$), 其周长为 $2^n\tan x_n$, 其面积($S_n=Area(P_n)$)为

\[
S_n=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2^n\tan x_n.
\]

因此,

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}2^n\tan\frac{2\pi}{2^n}=\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
\]

这证明了单位圆盘的面积是 $\pi$. 一般的, 对于半径为 $r$ 的圆盘, 可证面积为 $\pi r^2$. 从而可以得到扇形的面积公式. 因此, 关于 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ 的传统证明也是没有问题的.