设 $k$ 是一个数域, 比如 $k=\mathbb{R}$. $k[x]$ 中的一个多项式 $f(x)$ 称为素多项式(prime polynomial)是指其无法分解为 $k[x]$ 中两个次数更低的多项式的乘积(这里次数大于等于1). 因此素多项式与不可约多项式(irreducible polynomial)的概念是一致的.

换句话说, $f$ 是 $k[x]$ 中的不可约多项式, 则 $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ 这样的分解式中必有一个因子是常数.

设有 $n+1$ 个点 $(x_j,y_j)$, $j=0,1,2,\ldots,n$. 令

\[
\ell_j(x)=\prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_j-x_i},
\]

则称

\[
P_n(x)=\sum_{j=0}^{n}y_j\ell_j(x)
\]

为由这 $n+1$ 个点确定的 Lagrange 多项式.

因式分解 

$x^3+y^3+3xy-1$

$x^4-44x^3+351x^2+176x-484$

>> (x^4-44*x^3+351*x^2+176*x-484)/(x-1)
in> (x^4-44*x^3+351*x^2+176*x-484)/(x-1)

out> x^3-43x^2+308x^1+484
------------------------

求 $(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n)^m$ 的展开式

例如: 

\[(a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+nab^{n-1}+b^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k\]

\[
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
\]

\[
\begin{split}
(a+b+c)^3&=(a+b)^3+3(a+b)^2 c+3(a+b)c^2+c^3\\
&=a^3+b^3+c^3+3a^2 b+3a^2 c+3b^2 a+3b^2 c+3c^2 a+3c^2 b+6abc
\end{split}
\]

Specht 多项式(Specht polynomials)和Specht 模(Specht modules)不仅被应用于对称群的表示理论, 而且也被应用于其他 反射群(reflection groups), 例如八面体群(octahedral groups).

对称群和八面体群都属于反射群.

群 $G$ 的一个表示是指一群同态 $G\rightarrow GL(V)$, 其中 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的一个有限维向量空间, 也可以等价于 $\mathbb{C}[G]$ 上的一个模(module).

参考

rt.representation theory - Specht polynomials for dihedral groups - MathOverflow

http://www.cmi.ac.in/~pdeshpande/projects/irreps.pdf

求下列一元三次方程的根.

(1)    $x^3-x^2-x-2=0$;

(2)    $x^3-3x^2+2x^1-2=0$;

(3)    $x^3+1=0$;

(4)    $x^3-15x-126=0$

(5)    $x^3+x^2+x+1=0$

(6)    $x^3-6x+2=0$

(1)   $f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$;

(2)   $f(x)=x^4+4x^2-4x-3$

(1)    $f(x)=x^4+x^3-3x^2-4x-1$,    $g(x)=x^3+x^2-x-1$;

(2)    $f(x)=x^4-4x^3+1$,    $g(x)=x^3-3x^2+1$;

(3)    $f(x)=x^4-10x^2+1$,    $g(x)=x^4-4\sqrt{2}x^3+6x^2+4\sqrt{2}x+1$.

1.  用 $g(x)$ 除 $f(x)$, 求商 $q(x)$ 与余式 $r(x)$:

(1)  $f(x)=x^3-3x^2-x-1$,  $g(x)=3x^2-2x+1$;

(2)  $f(x)=x^4-2x+5$,  $g(x)=x^2-x+2$.

题目来自 [1] P. 44

References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》

设 $f(x)$ 是一个多项式, 具有标准分解式

\[
f(x)=cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\cdots p_s^{r_s}(x)
\]

$f(x)$ 和 $f'(x)$ 的最大公因式必具有标准分解式

\[
p_1^{r_1-1}(x)p_2^{r_2-1}(x)\cdots p_s^{r_s-1}(x)
\]

于是

\[
\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}=cp_1(x)p_2(x)\cdots p_s(x)
\]

不含有重因式.

因此, 要判断 $f(x)$ 是否含有重因式, 这是一个可以尝试的办法. 只要 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 不是互素的, 则上式也给出了对 $f(x)$ 作因式分解的一个思路.

参见 [1] P.24

References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》