(1)  $f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$;

(1)    $f(x)=x^4+x^3-3x^2-4x-1$,    $g(x)=x^3+x^2-x-1$;

(2)    $f(x)=x^4-4x^3+1$,    $g(x)=x^3-3x^2+1$;

(3)    $f(x)=x^4-10x^2+1$,    $g(x)=x^4-4\sqrt{2}x^3+6x^2+4\sqrt{2}x+1$.

1.  用 $g(x)$ 除 $f(x)$, 求商 $q(x)$ 与余式 $r(x)$:

(1)  $f(x)=x^3-3x^2-x-1$,  $g(x)=3x^2-2x+1$;

(2)  $f(x)=x^4-2x+5$,  $g(x)=x^2-x+2$.

题目来自 [1] P. 44

References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》

设 $f(x)$ 是一个多项式, 具有标准分解式

\[
f(x)=cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\cdots p_s^{r_s}(x)
\]

$f(x)$ 和 $f'(x)$ 的最大公因式必具有标准分解式

\[
p_1^{r_1-1}(x)p_2^{r_2-1}(x)\cdots p_s^{r_s-1}(x)
\]

于是

\[
\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}=cp_1(x)p_2(x)\cdots p_s(x)
\]

不含有重因式.

因此, 要判断 $f(x)$ 是否含有重因式, 这是一个可以尝试的办法. 只要 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 不是互素的, 则上式也给出了对 $f(x)$ 作因式分解的一个思路.

参见 [1] P.24

References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》

使用辗转相除法求两个多项式的最大公因式.

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个多项式, 通过带余除法, 经过有限步后总可以使得最后的余式为零. 具体的, 可设

\[
\begin{aligned}
f(x)&=q_1(x)\cdot g(x)+r_1(x),\\
g(x)&=q_2(x)\cdot r_1(x)+r_2(x),\\
r_1(x)&=q_3(x)\cdot r_2(x)+r_3(x),\\
r_2(x)&=q_4(x)\cdot r_3(x)+r_4(x),\\
&\vdots\\
r_{s-3}(x)&=q_{s-1}(x)\cdot r_{s-2}(x)+r_{s-1}(x),\\
r_{s-2}(x)&=q_{s}(x)\cdot r_{s-1}(x)+r_{s}(x),\\
r_{s-1}(x)&=q_{s+1}(x)\cdot r_s(x)+0.
\end{aligned}
\]

假设用 Rvec 向量存储 $\{f(x), g(x), r_1(x), r_2(x), \ldots, r_s(x)\}$,  Qvec 向量存储 $q_1(x), q_2(x), \ldots, q_{s+1}(x)$.

上面最后一式为 $r_{s-1}=q_{s+1}r_s$ (以下均省写 $(x)$ ), 将其代入倒数第二式得到 $r_{s-2}$ 关于 $q_j$ 和 $r_s$ 的表达式, 依次类推.

\[r_{s-1}=q_{s+1}r_s\]

\[
r_{s-2}=q_s (q_{s+1}r_s)+r_s=(q_s q_{s+1}+1)r_s
\]

\[
\begin{split}
r_{s-3}&=q_{s-1}\cdot r_{s-2}+r_{s-1}\\
&=q_{s-1}(q_s q_{s+1}+1)r_s+q_{s+1} r_s\\
&=(q_{s-1}q_s q_{s+1}+q_{s-1}+q_{s+1})r_s
\end{split}
\]

可以看到, $r_k$ 都可以用 $q_j$ 和 $r_s$ 来表示. 但我们要找的是 $r_s$ 关于 $f$ 和 $g$ 的线性表示式. (这里的“线性”表示式, 系数并不是常数.)

从倒数第二式出发,

\[
r_s=r_{s-2}-q_s r_{s-1}
\]

如果 $r_{s-2}$, $r_{s-1}$ 能够写成 $f$ 和 $g$ 的线性表示式即可.

\[
\begin{split}
r_1&=f-q_1 g\\
r_2&=g-q_2 r_1=g-q_2(f-q_1 g)=-q_2 f+(1+q_2 q_1)g\\
r_3&=r_1-q_3 r_2=(f-q_1 g)-q_3(-q_2 f+(1+q_2 q_1)g)\\
&=(1+q_3 q_2)f+(-q_1-q_3(1+q_2 q_1))g\\
r_4&=r_2-q_4 r_3=\bigl(-q_2 f+(1+q_2 q_1)g\bigr)-q_4\cdot\Bigl[(1+q_3 q_2)f+(-q_1-q_3(1+q_2 q_1))g\Bigr]\\
&=\Bigl[-q_2-q_4(1+q_3 q_2)\Bigr]f+\Bigl[(1+q_2 q_1)+q_4(q_1+q_3(1+q_2 q_1))\Bigr]g\\
r_5&=r_3-q_5 r_4=\bigl((1+q_3 q_2)f+(-q_1-q_3(1+q_2 q_1))g\bigr)\\
&\qquad-q_5\biggl(\Bigl[-q_2-q_4(1+q_3 q_2)\Bigr]f+\Bigl[(1+q_2 q_1)+q_4(q_1+q_3(1+q_2 q_1))\Bigr]g\biggr)\\
&=\biggl[(1+q_3 q_2)+q_5\bigl(q_2+q_4(1+q_3 q_2)\bigr)\biggr]f+\biggl[\bigl(-q_1-q_3(1+q_2 q_1)\bigr)+(1+q_2 q_1)+q_4\bigl(q_1+q_3(1+q_2 q_1)\bigr)\biggr]g\\
\end{split}
\]

将 $r_s$ 表示为 $(k,h)$, 意思是 $kf+hg$. 于是我们有

\[
\begin{split}
r_1&=(1,-q_1)\\
r_2&=(0,1)+(-q_2)(1,-q_1)=(-q_2, 1+q_2 q_1)\\
r_3&=(1,-q_1)+(-q_3)\cdot(-q_2, 1+q_2 q_1)=(1+q_3 q_2, -q_1-q_3(1+q_2 q_1))\\
r_4&=(-q_2, 1+q_2 q_1)-q_4(1+q_3 q_2, -q_1-q_3(1+q_2 q_1))\\
&=(-q_2-q_4(1+q_3 q_2), 1+q_2 q_1+q_4(q_1+q_3(1+q_2 q_1)))
\end{split}
\]

因此, 编程的话, 只需通过这些公式, 依次计算 $r_1, r_2, r_3, \ldots$, 直到 $r_s$. 

例子: 设 $f(x)=x^4+3x^3-x^2-4x-3$, $g(x)=3x^3+10x^2+2x-3$, 求 $(f(x),g(x))$, 并求 $u(x), v(x)$ 使

\[(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x).\]

Remark:

例子来源于 [1] P. 15

References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》, 高等教育出版社. 2000 年.

定理. (Eisenstein判别准则) 设 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_x x^n\in\mathbb{Z}[x]$. 如果存在素数 $p$, 使得 $p|a_i$, $i=0,1,2,\ldots,n-1$, 且 $p\not| a_n$, $p^2\not| a_0$, 则 $f(x)$ 在 $\mathbb{Z}$ 上不可约.

见 [1] P.33

[DevPlan] 利用 Eisenstein 判别准则判断整系数多项式的不可约性.

References:

[1] 李炯生、查建国  编著 《线性代数》

实数域内分解 $1+x^4$.

勒让德多项式(Legendre Polynomial)

我们称

\[
P_0(x),\  P_1(x),\  P_2(x),\ \ldots,\ P_n(x)
\]

为勒让德多项式(Legendre Polynomial), 如果它们满足下面的条件:

(1)  $P_n(x)$ 是 $n$ 阶实系数多项式, 且满足

\[
\int_{-1}^{1}P_n(x)x^{\nu}\mathrm{d}x=0,\quad\nu=0,1,2,\ldots,n-1;\quad n\geqslant 1;
\] 

(2)  $P_n(x)$ 满足

\[
\int_{-1}^{1}\bigl[P_n(x)\bigr]^2\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1},\quad n=0,1,2,\ldots;
\]

(3)  $P_n(x)$ 中 $x^n$ 的系数是正的, $n=0,1,2,\ldots$.

参考 [1], P.85

References:

[1] George Polya, Gabor Szego,  Problems and Theorems in Analysis  II.

设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次多项式,

\[
f(x)=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1 x+a_0,\qquad (a_k,\ldots,a_0)\in\mathbb{R}^{k+1},\ a_k\neq 0.
\]

写出 $f(\lambda x+\mu)-f(\mu)$, 这里 $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$. 

设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次多项式,

\[
f(x)=a_k x^k +a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0,
\]

这里 $a_0=0$.

若 $x=q_1 y+q_2 z$, $q_1,q_2,y,z\in\mathbb{Z}$, 则

\[f(q_1 y+q_2 z)\equiv f(q_1 y)+f(q_2 z)\pmod{q_1 q_2}.\]

若记 $e_q(f(x))=e^{2\pi i\frac{f(x)}{q}}$, 则对于一般的多项式 $f(x)$, 即常数项不一定为 0 ($f(x)=a_k x^k +a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0$). 有

\[
e_{q_1 q_2}(f(q_1 y+q_2 z))=e_{q_2}(\frac{f(q_1 z)}{q_1})\cdot e_{q_1}(\frac{f(q_2 z)}{q_2}).
\]