问题及解答

因式分解 

$x^3+y^3+3xy-1$

$x^4-44x^3+351x^2+176x-484$

>> (x^4-44*x^3+351*x^2+176*x-484)/(x-1)
in> (x^4-44*x^3+351*x^2+176*x-484)/(x-1)

out> x^3-43x^2+308x^1+484
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首先将 $y$ 视为常数, 于是多项式写为 $x^3+3yx+(y^3-1)$.

我们可以考虑特殊的 $y$ 值, 以便发现是否存在规律.

(1)  $y=-1$ 时, 多项式为 $x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2$      对应到 $(x+y-1)(x^2+2x+1)$.  这里$2x=-(y-1)x$.

(2)  $y=0$ 时, 多项式为 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$      对应到 $(x+y-1)(x^2+x+1)$.  这里 $x=-(y-1)x$.

(3)  $y=1$ 时, 多项式为 $x^3+3x=x(x^2+3)$      对应到 $(x+y-1)(x^2+0x+3)$.  这里 $0x=-(y-1)x$.

因此可设

\[
x^3+3yx+(y^3-1)=(x+y-1)\bigl[x^2+(1-y)x+f(y)\bigr].
\]

将右边化简, 得

\[
x^3+3yx+(y^3-1)=x^3+\bigl[f(y)-(y-1)^2\bigr]x+(y-1)f(y).
\]

因此, 

\[
\begin{cases}
3y=f(y)-(y-1)^2,\\
y^3-1=(y-1)f(y).
\end{cases}
\]

这推出 $f(y)=y^2+y+1$. 因此,

\[
x^3+3yx+(y^3-1)=(x+y-1)\bigl[x^2+(1-y)x+y^2+y+1\bigr].
\]