若 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n$, $b_1\leqslant b_2\leqslant\cdots\leqslant b_n$, 则
\[
\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\ \geqslant\ \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}a_i)\cdot(\sum_{i=1}^{n}b_i)\ \geqslant\ \sum_{i=1}^{n}a_i b_{n+1-i}.
\]
[Hint] 使用排序不等式证明.
1
\[
\begin{split}
(\sum_{i=1}^{n}a_i)(\sum_{i=1}^{n}b_i)&=a_1 b_1+a_1 b_2+\cdots+a_1 b_n\\
&\quad +a_2 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_2 b_n\\
&\quad +\cdots\\
&\quad +a_n b_1+a_n b_2+\cdots+a_n b_n\\
\end{split}
\]
可以类似于计算三阶行列式时取斜方向的三个数那样, 我们可以将上面 $n^2$ 个项组成 $n$ 个组. 上面等于
\[
\begin{split}
&a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3+\cdots + a_{n-1}b_{n-1}+a_n b_n\\
+&a_1 b_2+a_2 b_3+a_3 b_4+\cdots + a_{n-1}b_n+a_n b_1\\
+&a_1 b_3+a_2 b_4+a_3 b_5+\cdots + a_{n-2}b_n+a_{n-1}b_1 +a_n b_2\\
&\vdots\\
+&a_1 b_n+a_2 b_1+a_3 b_2+\cdots+a_n b_{n-1}
\end{split}
\]
根据排序不等式, 上面每一行都小于等于 $a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n$, 且大于等于 $a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+\cdots+a_n b_1$. 于是有
\[
n\sum_{i=1}^{n}a_i b_{n+1-i}\leqslant (\sum_{i=1}^{n}a_i)(\sum_{i=1}^{n}b_i)\leqslant n\sum_{i=1}^{n}a_i b_i.
\]