问题

设有两个有序数组 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n$ 及 $b_1\leqslant b_2\leqslant\cdots\leqslant b_n$, 则

\[
\begin{split}
& a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n\quad\text{(顺序和)}\\
\geqslant\ & a_1 b_{j_1}+a_2 b_{j_2}+\cdots a_n b_{j_n}\quad\text{(乱序和)}\\
\geqslant\ & a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+\cdots+a_n b_1\quad\text{(反序和)}
\end{split}
\]

其中 $j_1, j_2, \ldots, j_n$ 是 $1,2,\ldots,n$ 的任一排列. 上面不等号成立当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 或 $b_1=b_2=\cdots=b_n$.

利用排序不等式可证明切比雪夫不等式.