设有两个有序数组 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n$ 及 $b_1\leqslant b_2\leqslant\cdots\leqslant b_n$, 则
\[
\begin{split}
& a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n\quad\text{(顺序和)}\\
\geqslant\ & a_1 b_{j_1}+a_2 b_{j_2}+\cdots a_n b_{j_n}\quad\text{(乱序和)}\\
\geqslant\ & a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+\cdots+a_n b_1\quad\text{(反序和)}
\end{split}
\]
其中 $j_1, j_2, \ldots, j_n$ 是 $1,2,\ldots,n$ 的任一排列. 上面不等号成立当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 或 $b_1=b_2=\cdots=b_n$.
利用排序不等式可证明切比雪夫不等式.
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从最简单的情形观察.
$n=2$ 时. 设 $a_1\leqslant a_2$, $b_1\leqslant b_2$. 于是
\[
\begin{split}
&\ a_1 b_1+a_2 b_2\geqslant a_1 b_2+a_2 b_1\\
\Leftrightarrow\ &\ a_1(b_1-b_2)\geqslant a_2(b_1-b_2)\\
\Leftrightarrow\ &\ (a_1-a_2)(b_1-b_2)\geqslant 0
\end{split}
\]
$n=3$ 时, 不妨设 $j_1=2$, $j_2=3$, $j_3=1$. 则要证
\[
a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3\geqslant a_1 b_2+a_2 b_3+a_3 b_1\geqslant a_1 b_3+a_2 b_2+a_3 b_1.
\]
第二个不等式等价于 $a_1 b_2+a_2 b_3\geqslant a_1 b_3+a_2 b_2$. 这在 $n=2$ 时已经证明, 只要将 $b_2$, $b_3$ 分别视为 $c_1$, $c_2$. 因此只要证明第一个不等式.
\[
\begin{split}
&\ a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3\geqslant a_1 b_2+a_2 b_3+a_3 b_1\\
\Leftrightarrow\ &\ a_1(b_1-b_2)+a_2(b_2-b_3)+a_3(b_3-b_1)\geqslant 0\\
\Leftrightarrow\ &\ a_1(b_1-b_2)+a_2(b_2-b_3)+a_3(b_3-b_2+b_2-b_1)\geqslant 0\\
\Leftrightarrow\ &\ a_1(b_1-b_2)+a_2(b_2-b_3)-a_3(b_2-b_3)-a_3(b_1-b_2)\geqslant 0\\
\Leftrightarrow\ &\ (a_1-a_3)(b_1-b_2)+(a_2-a_3)(b_2-b_3)\geqslant 0.
\end{split}
\]
由条件, $a_1-a_3\leqslant 0$, $b_1-b_2\leqslant 0$, $a_2-a_3\leqslant 0$, $b_2-b_3\leqslant 0$, 因此得证.
如果还没有看到可用于归纳法论述的地方, 则再考虑 $n=4$ 的情况, 此时不妨设 $j_1 j_2 j_3 j_4=4 1 2 3$. 此时我们要证明
\[
a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3+a_4 b_4\geqslant a_1 b_4+a_2 b_1+a_3 b_2 +a_4 b_3\geqslant a_1 b_4+a_2 b_3+a_3 b_2+ a_4 b_1.
\]
我们只需证明第一个不等式.
\[
\begin{split}
&\ a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3+a_4 b_4\geqslant a_1 b_4+a_2 b_1+a_3 b_2 +a_4 b_3\\
\Leftrightarrow\ &\ a_1(b_1-b_4)+a_2(b_2-b_1)+a_3(b_3-b_2)+a_4(b_4-b_3)\geqslant 0\\
\end{split}
\]
此时, 将最后一项 $a_4(b_4-b_3)$ 拆分为 $a_4(b_4-b_1+b_1-b_3)$, 于是等价于
\[
(a_1-a_4)(b_1-b_4)+a_2(b_2-b_1)+a_3(b_3-b_2)+a_4(b_1-b_3)\geqslant 0.
\]
而 $(a_1-a_4)(b_1-b_4)\geqslant 0$, 因此只要能证明
\[
a_2(b_2-b_1)+a_3(b_3-b_2)+a_4(b_1-b_3)\geqslant 0
\]
即可, 而这属于 $n=3$ 的情形.
将上面的讨论用于一般的情形, 作归纳证明即可.