问题及解答

求解下面的二元三次方程组.

\[
\begin{cases}
m^3-3mn=2,\\
3m^2 n-n^3=11.
\end{cases}
\]

当然, 我们可以猜出 $m=2,n=1$ 是其中一个解.

\[
\begin{cases}
m^3-3mn=2,\\
3m^2 n-n^3=11.
\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}
m(m^2-3n)=2,\\
n(3m^2-n^2)=11.
\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}
3nm(m^2-3n)=6n, (1)\\
mn(3m^2-n^2)=11m.  (2)
\end{cases}
\]

(1)-(2) 得

\[
mn^3-9n^2m=6n-11m.
\]

根据原方程组第一式知 $m\neq 0$, 故将上面方程两边除以 $m$, 得

\[
n^3-9n^2-\frac{6}{m}n+11=0.
\]

令 $n=y+3$, 可化简为

\[
y^3-(27+\frac{6}{m})y-(43+\frac{18}{m})=0.
\]

若记 $t=\frac{6}{m}$, 则方程变为

\[
y^3-(27+t)y-(43+3t)=0.
\]