设 $a_i\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$. 则
\[
\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n},
\]
等号成立当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$. 这个称为 AG 不等式. $\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}$ 称为 $\{a_i\}_{i=1}^{n}$ 这 $n$ 个数的几何平均; 而 $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ 称为这 $n$ 个数的算术平均.
若将上面不等式中的 $a_i$ 替换为 $\frac{1}{a_i}$, 则得到调和平均不等式:
\[
\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leqslant\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n},
\]
等号成立也是当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$.
1
我们首先从AG不等式推出调和平均不等式.
对于 $\frac{1}{a_i}$, $i=1,2,\ldots,n$, 这里 $a_i\in\mathbb{R}^+$, 根据 AG 不等式,
\[
\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\frac{1}{a_2}\cdots\frac{1}{a_n}}\leqslant\dfrac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}{n}.
\]
即
\[
\dfrac{1}{\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}}\leqslant\dfrac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}{n},
\]
两边取倒数得
\[
\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}\geqslant\dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}.
\]
2
以下涉及到的字母均假设为正实数.
当 $n=2$ 时, 此为熟知的不等式 $\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}$.
当 $n=3$ 时, 要证明 $\sqrt[3]{abc}\leqslant\frac{a+b+c}{3}$. 要从 $n=2$ 的结论推出 $n=3$ 的结论似乎并不容易.
但我们可以由 $n=2$ 的结论得到
\[
\sqrt{(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})(\frac{c}{2}+\frac{d}{2})}\leqslant\frac{(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})+(\frac{c}{2}+\frac{d}{2})}{2},
\]
而
\[
\sqrt{ab}\leqslant\frac{a}{2}+\frac{b}{2},\quad\sqrt{cd}\leqslant\frac{c}{2}+\frac{d}{2},
\]
故
\[
\sqrt[4]{abcd}=\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}\leqslant\sqrt{(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})(\frac{c}{2}+\frac{d}{2})}\leqslant\frac{a+b+c+d}{4}.
\]
因此, 我们发现这是可以尝试的归纳法. 事实上的确可行. 由上面的不等式可以推出
\[
\sqrt[16]{a_1 a_2\cdots a_{16}}\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{16}}{16}.
\]
也即, 使用归纳法可以证明 AG 不等式对于 $m=2, 2^2, 2^{2^2},\ldots$ 是成立的.
\[
\sqrt[m]{a_1 a_2\cdots a_{m}}\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{m}}{m}.
\]
Claim. 假设 AG 不等式对 $n$ 成立, 则对 $n-1$ 也成立.
Pf. 设 $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ 是 $n-1$ 个非负实数. 令 $a_n$ 是这 $n-1$ 个数的平均值, 即
\[a_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}{n-1},\]
记 $s=s_{n-1}=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}$, 则 $a_n=\frac{s}{n-1}$. 于是根据假设
\[
\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n}{n}\geqslant\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_{n-1}a_n},
\]
即
\[
\begin{split}
&\frac{s+\frac{s}{n-1}}{n}\geqslant\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_{n-1}\cdot\frac{s}{n-1}}\\
\Rightarrow\ &\frac{s}{n-1}\geqslant\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_{n-1}\cdot\frac{s}{n-1}}\\
\Rightarrow\ &(\frac{s}{n-1})^n\geqslant a_1 a_2\cdots a_{n-1}\cdot\frac{s}{n-1}\\
\Rightarrow\ &(\frac{s}{n-1})^{n-1}\geqslant a_1 a_2\cdots a_{n-1}\\
\Rightarrow\ &\frac{s}{n-1}\geqslant\sqrt[n-1]{a_1 a_2\cdots a_{n-1}}.
\end{split}
\]
因此, AG 不等式对所有 $n$ 都成立.
3
令 $f(x)=\ln x$, 则 $f$ 是凹函数. 对于 $a_i >0$, $i=1,2,\ldots,n$, 有
\[
f(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n})\geqslant\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}{n}
\]