问题及解答

设数列 $\{a_n\}$ 满足递推公式 $a_{n+1}=(n+1)a_n+1$, 且 $a_0=1$, 求通项 $a_n$ 的表达式.

在递推公式 $a_{n+1}=(n+1)a_n+1$ 两边同除以 $(n+1)!$, 

\[
\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a_n}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}
\]

记 $b_n=\frac{a_n}{n!}$, 于是有 $b_n$ 的递推公式 $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{(n+1)!}$.

\[
\begin{aligned}
b_{n}&=b_{n-1}+\frac{1}{n!},\\
b_{n-1}&=b_{n-2}+\frac{1}{(n-1)!},\\
b_{n-2}&=b_{n-3}+\frac{1}{(n-2)!},\\
&\vdots\\
b_1=b_0+\frac{1}{1!}
\end{aligned}
\]

这里 $b_0=\frac{a_0}{0!}=\frac{1}{1}=1$. 于是上面 $n$ 个式子相加, 可得

\[
b_n=b_0+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}
\]

而 $b_n=\frac{a_n}{n!}$, 因此

\[
a_n=n!\cdot\biggl[1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\biggr]
\]

即

\[
a_n=n!+n(n-1)(n-2)\cdots 2+n(n-1)(n-2)\cdots 3+\cdots+n(n-1)+n+1
\]