开区间上的凸函数一定连续
设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点处的左右极限都存在, 且对任意的 $x,y\in(a,b)$ 有
\[
f(\frac{x+y}{2})\leqslant\frac{f(x)+f(y)}{2},
\]
求证: $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续.
Answer
设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点处的左右极限都存在, 且对任意的 $x,y\in(a,b)$ 有
\[
f(\frac{x+y}{2})\leqslant\frac{f(x)+f(y)}{2},
\]
求证: $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续.