一个重要的凸函数
假设 $\phi(x,t)$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的凸函数, 这里 $x\in\mathbb{R}^n$, $t\in\mathbb{R}$. 则函数
\[
f(t):=-\log\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\phi(x,t)}dx
\]
也是凸函数.
注:
这个命题可以推出 Brunn-Minkowski 不等式, 后者可推出等周不等式(Isoperimetric inequality). 由此可导出丁泛函在测地线上的凸性.
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