问题及解答

设 $a < b < c < d$, 函数 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 及 $[b,d]$ 上是凸函数, 证明 $f$ 在 $[a,d]$ 上也是凸的.

任取 $a\leqslant x_1 < x_2\leqslant d$, 不妨设 $x_1\in[a,b]$, $x_2\in[c,d]$. 要证

\[
f(\frac{x_1+x_2}{2})\leqslant \frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2).
\]