(1) 向量空间中的 $p$-范数 ($p\geqslant 1$), 及 $\|\cdot\|_{\infty}$ 范数.
这里
\[
\|x\|_p=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}},\qquad\|x\|_{\infty}=\max_{k}|x_k|.
\]
[提示]
首先证明有三角不等式 $\|x+y\|_p\leqslant\|x\|_p+\|y\|_p$.
更一般的, 参考 $L^p$ 和弱 $L^p$, Brunn-Minkowski 不等式
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Minkowski 不等式 $\|x+y\|_p\leqslant\|x\|_p+\|y\|_p$ 的证明需要 Hölder 不等式.
首先, 应用 $x^p$ ($p>1,x>0$) 的凸性, 可推出
\[
\biggl|\frac{1}{2}x_i+\frac{1}{2}y_i\biggr|^p\leqslant(\frac{1}{2}|x_i|+\frac{1}{2}|y_i|)^p\leqslant\frac{1}{2}|x_i|^p+\frac{1}{2}|y_i|^p,
\]
从而
\[
|x_i+y_i|^p\leqslant 2^{p-1}(|x_i|^p+|y_i|^p).
\]
于是
\[
\begin{split}
\|x+y\|_p^p&=\sum_{i=1}^{n}|x_i+y_i|^p=\sum_{i=1}^{n}|x_i+y_i|\cdot|x_i+y_i|^{p-1}\\
&\leqslant\sum_{i=1}^{n}(|x_i|+|y_i|)\cdot|x_i+y_i|^{p-1}\\
&=\sum_{i=1}^{n}|x_i|\cdot|x_i+y_i|^{p-1}+\sum_{i=1}^{n}|y_i|\cdot|x_i+y_i|^{p-1}\\
&\leqslant(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}\cdot\biggl[\sum_{i=1}^{n}|x_i+y_i|^{(p-1)\cdot\frac{p}{p-1}}\biggr]^{\frac{p-1}{p}}+(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^p)^{\frac{1}{p}}\cdot\biggl[\sum_{i=1}^{n}|x_i+y_i|^{(p-1)\cdot\frac{p}{p-1}}\biggr]^{\frac{p-1}{p}}\\
&=(\|x\|_p+\|y\|_p)\cdot\|x+y\|_{p}^{p-1}
\end{split}
\]
此即推出 Minkowski 不等式 $\|x+y\|_p\leqslant\|x\|_p+\|y\|_p$. 其中倒数第二个不等式应用了 Hölder 不等式.
类似的办法可以证明 $L^p$ 空间中的 Minkowski 不等式 $\|f+g\|_p\leqslant\|f\|_p+\|g\|_p$, 其中
\[
\|f\|_p=(\int |f|^pd\mu)^{\frac{1}{p}}.
\]
References:
http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_inequality