证明下列函数是凸函数
(1) 向量空间中的 $p$-范数 ($p\geqslant 1$), 及 $\|\cdot\|_{\infty}$ 范数.
这里
\[
\|x\|_p=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}},\qquad\|x\|_{\infty}=\max_{k}|x_k|.
\]
[提示]
首先证明有三角不等式 $\|x+y\|_p\leqslant\|x\|_p+\|y\|_p$.
更一般的, 参考 $L^p$ 和弱 $L^p$, Brunn-Minkowski 不等式