问题及解答

证明: 方程

\[
4x-1-\int_0^x\frac{dt}{1+t^3}=0
\]

在区间 $(0,1)$ 内有唯一实根.

令

\[
f(x)=4x-1-\int_0^x\frac{dt}{1+t^3},
\]

于是 $f(0)=-1$, $f(1)=3-\int_0^1\frac{dt}{1+t^3} > 2$. (这是因为对于 $t\in(0,1)$, $0< \frac{1}{1+t^3}< 1$.)

又

\[
f'(x)=4-\frac{1}{1+x^3} >0,
\]

所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格单调递增. 故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有唯一实根.