问题及解答

$f(x)=\frac{4x^2-7}{2-x}$, $x\in [0,1]$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间和值域.

(2) 设 $a\geqslant 1$, 函数 $g(x)=x^3-3a^2 x-2a$, $x\in[0,1]$. 若对 $\forall\ x_1\in[0,1]$, 总存在 $x_0\in[0,1]$, 使得 $g(x_0)=f(x_1)$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.

(1)

\[
f'(x)=\frac{8x(2-x)-(4x^2-7)(-1)}{(2-x)^2}=\frac{-4x^2+16x-7}{(2-x)^2},
\]

所以 $f'(x) < 0$ 当且仅当 $4x^2-16x+7 > 0$. 解得 $x > \frac{7}{2}$ 或 $x < \frac{1}{2}$.

由于现在 $x\in[0,1]$,  故当 $x\in[0,\frac{1}{2}]$ 时, 函数 $f(x)$ 严格单调递减; 当 $x\in[\frac{1}{2},1]$ 时, 函数 $f(x)$ 严格单调递增.

$f(\frac{1}{2})=-4$, $f(0)=-\frac{7}{2}$, $f(1)=-3$. 因此函数 $f(x)$ 的值域为 $[-4,-3]$.

(2) 实际上的要求就是 $g(x)$ 的值域要包含 $[-4,-3]$.

由于 $x\in[0,1]\subset[-1,1]\subset[-a,a]$ (因为条件 $a\geqslant 1$), 故

\[g'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)<0,\quad\forall\ x\in(0,1).\]

$g(0)=-2a$, $g(1)=1-3a^2-2a$.

因此 $g(x)$ 的值域为 $[1-3a^2-2a,-2a]$. 因此, $a$ 应满足

\[
1-3a^2-2a\leqslant -4,\quad\text{且}\quad -3\leqslant -2a.
\]

这推出

\[
\begin{cases}
3a^2+2a-3\geqslant 0,\\
a\leqslant\frac{3}{2}.
\end{cases}
\]

化简得

\[
\begin{cases}
a\geqslant \frac{-1+\sqrt{10}}{3},\quad\text{或}\quad a\leqslant\frac{-1-\sqrt{10}}{3}\\
a\leqslant\frac{3}{2}.
\end{cases}
\]

即

\[a\in(-\infty,\frac{-1-\sqrt{10}}{3}]\cup[\frac{\sqrt{10}-1}{3},\frac{3}{2}].\]